Кратная интерполяционная задача для функций с нулевыми шаровыми средними

Пусть $|\cdot|$ – евклидова норма в $\mathbb{R}^n$, $n\geq 2$. Для $r>0$ через $V_r(\mathbb{R}^n)$ обозначим множество функций $f\in L_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$, удовлетворяющих условию \begin{equation*}\label{eq } \int_{|x|\leq r}f(x+y)dx=0\quad\text{для любого}\quad y\in\mathbb{R}^n. \end{equation*} В работе исследуется интерполяция функций умеренного роста из класса $(V_r\cap C^{\infty})(\mathbb{R}^n)$ вместе с производными ограниченного порядка в заданном направлении.

Пусть $d\in\mathbb{R}^n$, $\sigma\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ фиксированы, $\{a_k\}_{k=1}^{\infty}$ – последовательность точек, лежащих на прямой $ \{x\in\mathbb{R}^n:\,x=d+t\sigma,\,t\in(-\infty,+\infty)\}$ и удовлетворяющих условиям \begin{equation*}\label{equation} \underset{i\ne j}\inf\, |a_i-a_j|>0,\quad |a_k|\leq|a_{k+1}|\quad\text{для всех}\quad k\in\mathbb{N}. \end{equation*} Пусть также $m\in\mathbb{Z}_+$, $b_{k,j}\in\mathbb{C}$, $k\in\mathbb{N}$, $j\in\{0,\ldots,m\}$, – множество чисел, удовлетворяющих условию \begin{equation*}\label{eq} \underset{0\leq j\leq m}\max\, |b_{k,j}|\leq(k+1)^{\alpha} \end{equation*} для всех $k\in\mathbb{N}$ и некоторого $\alpha\geq 0$, не зависящего от $k$. Показано (теорема), что при указанных условиях интерполяционная задача \begin{equation*}\label{equation*} \left(\sigma_1\frac{\partial}{\partial x_1}+\ldots+\sigma_n\frac{\partial}{\partial x_n}\right)^jf(a_k)=b_{k,j},\quad k\in\mathbb{N},\quad j\in\{0,\ldots,m\}, \end{equation*} разрешима в классе функций, принадлежащих $(V_r\cap C^{\infty})(\mathbb{R}^n)$, которые вместе со всеми своими производными имеют рост не выше степенного на бесконечности. Отмечено, что условие отделимости узлов $\{a_k\}_{k=1}^{\infty}$ в теореме убрать нельзя, а также, что решение указанной интерполяционной задачи не является единственным. Кроме того, указано, что одномерный аналог теоремы неверен, поскольку всякая непрерывная функция класса $V_r(\mathbb{R}^n)$ при $n=1$ является $2r$-периодической.

1. Гольдберг А.А., Левин Б.Я., Островский И.В. Целые и мероморфные функции, Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. матем. Фундамент. напр. 85, 5–185 (1991).

2. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Interpolation problems for functions with zero ball means, Probl. Anal. Issues Anal. 10 (28) (3), 129–140 (2021).

3. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Interpolation problem with knots on a line for solutions of a multidimensional convolution equation, Lobachevskii J. Math. 44 (8), 3630–3639 (2023).

4. Zalcman L. A bibliographic survey of the Pompeiu problem, Approx. Solut. Partial Diff. Equat., 185–194 (Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1992).

5. Chakalov L. Sur un problème de D. Pompéiu, Annuaire [Godišnik] Univ. Sofia Fac. Phys.-Math., Livre 1, 40, 1–14 (1944).

6. Беренстейн К.А., Струппа Д. Комплексный анализ и уравнения в свертках, Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. матем. Фундамент. напр. 54, 5–111 (1989).

7. Bagchi S.C., Sitaram A. The Pompeiu problem revisited, Enseign. Math. 36 (1–2), 67–91 (1990).

8. Volchkov V.V. Integral Geometry and Convolution Equations (Kluwer Acad. Publ., Dordrech, 2003).

9. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Harmonic analysis of mean periodic functions on symmetric spaces and the Heisenberg group (Springer-Verlag, London, 2009).

10. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Offbeat Integral Geometry on Symmetric Spaces (Birkhäuser, Basel, 2013).

11. Волчков В.В., Волчков Вит.В. Аппроксимация функций на лучах в Rn решениями уравнений свертки, Сиб. матем. журн. 64 (1), 56–64 (2023).

12. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций (Наука, М., 1971).

13. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, Т. 1 (Мир, М., 1986).