On the constructive solvability of one class nonlinear integral equations of the Hammerstein type on the whole line

The work is devoted to numerical solution and to the study of some qualitative properties of the solution of one class of nonlinear integral equations on the whole line with non-compact and monotone operator of Hammerstein type. This class of equations has applications in various areas of physics and epidemiology. In particular, under certain representations of the corresponding kernel and nonlinearity, such equations arise in the theory of p-adic strings, in the kinetic theory of gases, and in the mathematical theory of propagation epidemic diseases within different models. With certain restrictions on kernel and on the nonlinearity of the equation, a constructive theorem on the existence of a continuous positive and bounded solution having the same finite limit on . In addition, we obtain an estimate for the difference of the corresponding neighboring successive approximations, from which it follows that these approximations in terms of the speed of a geometric progression uniformly converge to a continuous and bounded solution of the equation under study. With additional restriction on the kernel, it is also proved that the difference between the solution and its limit value on is an integrable function on the entire number line. Uniqueness of the solution in the class of non-negative non-trivial continuous and bounded functions is obtained from previously known results of the authors of this paper. At the end of the work, numerical calculations are given for some model examples of the kernel and nonlinearity.

1. Aref’eva I.Ya., Dragovic B.G., Volovich I.V. Open and closed p-adic strings and quadratic extensions of number fields, Phys. Lett. B 212 (3), 283–291 (1988).

2. Владимиров В.С., Волович Я.И. О нелинейном уравнении динамики в теории p-адической струны, ТМФ 138 (3), 355–368 (2004).

3. Владимиров В.С. О нелинейных уравнениях p-адических открытых, замкнутых и открытозамкнутых струн, ТМФ 149 (3), 354–367 (2006).

4. Жуковская Л.В. Итерационный метод решения нелинейных интегральных уравнений, описывающих роллинговые решения в теории струн, Теорет. матем. физ. 146 (3), 402–409 (2006).

5. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (Наука, М., 1966).

6. Cercignani C. The Boltzmann Equation and its Application (Springer, New York, 1988).

7. Енгибарян Н.Б. Об одной задаче нелинейного переноса излучения, АН Армянск. ССР. Астрофизика 2 (1), 31–36 (1966).

8. Atkinson C., Reuter G.E.H. Deterministic epidemic waves, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 80 (2), 315–330 (1976).

9. Diekmann O. Threshold and travelling waves for the geographical spread of infection, J. Math. Biol. 6, 109–130 (1978).

10. Diekmann O., Kaper H.G. On the bounded solutions of a nonlinear convolution equation, Nonlinear Anal. Theory Methods Appl. 2 (6), 721–737 (1978).

11. Sargan J.D. The distribution of wealth, Econometrica 25, 568–590 (1957).

12. Хачатрян А.Х., Хачатрян Х.А., Петросян А.С. Асимптотическое поведение решения для одного класса нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в задаче распределения дохода, Тр. ИММ УрО РАН 27 (1), 188–206 (2021).

13. Хачатрян Х.А. О разрешимости некоторых классов нелинейных интегральных уравнений в теории p-адической струны, Изв. РАН. Сер. матем. 82 (2), 172–193 (2018).

14. Хачатрян Х.А. О разрешимости одной граничной задачи в p-адической теории струн, Тр. ММО 79 (1), 117–132 (2018).

15. Хачатрян Х.А. Существование и единственность решения одной граничной задачи для интегрального уравнения свертки с монотонной нелинейностью, Изв. РАН. Сер. матем. 84 (4), 198–207 (2020).

16. Хачатрян Х.А. О разрешимости некоторых нелинейных граничных задач для сингулярных интегральных уравнений типа свертки, Тр. ММО 81 (1), 3–40 (2020).

17. Петросян А.С., Хачатрян Х.А. О единственности решения одного класса интегральных уравнений с суммарно-разностным ядром и с выпуклой нелинейностью на положительной полупрямой, Матем. заметки 113 (4), 529–543 (2023).

18. Avetisyan M.H. On solvability of a nonlinear discrete system in the spread theory of infection, Proc. YSU. Phys. Math. Sci. 54 (2 (252)), 87–95 (2020).

19. Khachatryan Kh.A., Avetisyan M.H. On solvability of an infinite nonlinear system of algebraic equations with Teoplitz–Hankel matrices, Proc. YSU. Phys. Math. Sci. 51 (2 (243)), 158–167 (2017).

20. Хачатрян А.Х., Хачатрян Х.А., Петросян А.С. О нелинейных интегральных уравнениях типа свертки в теории p-адических струн, ТМФ 216 (1), 184–200 (2023).

21. Yengibaryan N.B. Renewal equation on the whole line, Stochastic Proc. Appl. 85, 237–247 (2000).

22. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (Наука, М., 1976).