The shortest polygonal chains in the Heisenberg group
https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-11-81-87
Abstract
We describe the shortest polygonal chains that connect two points on the first Heisenberg group with the sub-Riemannian structure. The shortest polygonal chain connecting two points with a fixed number of links either is a straight line or consists of segments of the same length such that the projections of their endpoints are inscribed in a circle. The analytical description is obtained for the spheres of the quasimetric generated by the shortest polygonal chains with 3 links.
About the Author
S. G. Basalaev
Novosibirsk State University
Russian Federation
Russian Federation
Sergey Gennad’evich Basalaev
1 Pirogova str., Novosibirsk, 630090
References
1. Greshnov A.V. Optimal horizontal joinability on the Engel group, Atti Accad. Naz. Lincei Classe Sci. Fis. Mat. Natur. 32 (3), 535–547 (2021), DOI: 10.4171/RLM/947.
2. Грешнов А.В., Жуков Р.И. Горизонтальная соединимость на канонической 3-ступенчатой группе Карно с горизонтальным распределением коранга 2, Сиб. матем. журн. 62 (4), 736–746 (2021), DOI: 10.33048/smzh.2021.62.403.
3. Грешнов А.В. Метод Аграчева–Барилари–Боскайна и оценки числа звеньев горизонтальных ломаных, соединяющих точки в канонической группе Карно G3,3, Тр. МИАН 321 (1), 108–117 (2023), DOI: 10.4213/tm4320.
4. Жуков Р.И., Грешнов А.В. Горизонтальная соединимость на 5-мерной 2-ступенчатой группе Карно с горизонтальным распределением коразмерности 2, Алгебра и логика 62 (2), 205–218 (2023), DOI: 10.33048/alglog.2023.62.203.
5. Bonfiglioli A., Lanconelli E., Uguzzoni F. Stratified Lie Groups and Potential Theory for their Sub-Laplacians, Springer Monographs in Mathematics (Springer Berlin, Heidelberg, 2007), DOI: 10.1007/978-3-540-71897-0.
6. Hall B.C. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations. An Elementary Introduction GTM 222 (Springer Cham, Cham, 2015), DOI: 10.1007/978-3-319-13467-3.
7. Рашевский П.К. О соединимости любых двух точек вполне неголономного пространства допустимой линией, Учен. зап. пед. ин-та им. Либкнехта, Сер. физ.-матем. (2), 83–94 (1938).
8. Chow W.L. U¨ber systeme von linearen partiallen differentialgleichungen erster ordnung, Mathematische Annalen 117, 98–105 (1939).
9. Courant R., Robbins H. What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods (Oxford Univ. Press, Oxford, 1941).
10. Niven I. Maxima and Minima Without Calculus, Dolc. Math. Exp. (6) (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1981).
11. Gaveau B. Principe de moindre action, propagation de la chaleur et estimees sous elliptiques sur certains groupes nilpotents, Acta Math. 139, 95–153 (1977), DOI: 10.1007/BF02392235.
12. Берестовский В.Н. Геодезические неголономных левоинвариантных внутренних метрик на группе Гей- зенберга и изопериметриксы плоскости Минковского, Сиб. матем. журн. 35 (1), 3–11 (1994).
Review
For citations:
Basalaev S.G. The shortest polygonal chains in the Heisenberg group. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika. 2024;(11):81-97. (In Russ.) https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-11-81-87
Views:
65
Email this article 