Preview

Известия высших учебных заведений. Математика

Расширенный поиск

ПРИЗНАК ЖОРДАНА ДЛЯ СИСТЕМ ТИПА ХААРА

https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-11-61-80

Аннотация

B работе рассматриваются системы типа Хаара, порожденные (вообще говоря, неограниченной) последовательностью $ \{ p_n \}_{n=1}^\infty $ и определенные на модифицированном отрезке $[0 , 1]^*$, т.\,е. на отрезке $[0, 1]$ c \textquotedblleftраздвоенными\textquotedblright\ $ \{ p_n \}$-рациональными точками. Основной результат данной работы --- установление признаков поточечной и равномерной сходимости рядов Фурье по системам типа Хаара аналогичного признаку сходимости Жордана. Показана неулучшаемость полученного в работе условия. В случае $ \sup\limits_n p_n = \infty $ построен пример функции ограниченной вариации, ряд Фурье которой по системе типа Хаара расходится в некоторой точке. Таким образом, для любых неограниченных последовательностей $ \{ p_n \}_{n=1}^\infty $ существуют монотонные функции с расходящимися в некоторых точках их рядами Фурье по системе типа Хаара, порожденными данной последовательностью $ \{ p_n \}_{n=1}^\infty . $ Оказалось, что признак сходимости Жордана на системах типа Хаара не отличается от условия Дини--Липшица по этим же ортонормираванным системам функций. А так как признак Дини--Липшица   был показан ранее, то основная ценность работы --- построение соответствующего контрпримера, т.\,е. примера функции {\it ограниченной вариации } c расходящимся в некоторой точке рядом Фурье по системам типа Хаара. В контрпримерах более ранних работ для признака Дини--Липшица (а также всех признаков сходимости Дини) были функции, {\it не являющимися функциями ограниченной вариации.} В заключении статьи говорится о том, как изменялся признак сходимости Жордана при переходе от тригонометрических систем функций к системам Прайса (и к системам Н.Я. Виленкина), а от них --- к обобщенным системам Хаара и системам типа Хаара.

Об авторе

В. И. Щербаков
Московский технический университет связи и информатики
Россия

Виктор Иннокентьевич Щербаков

ул. Народного Ополчения, д. 32, г. Москва, 123423



Список литературы

1. Виленкин H.Я. Об одном классе полных ортонормальных систем, Изв. АН СССР. Сер. Матем. 11 (4), 363–400 (1947).

2. Агаев Г.Н., Виленкин Н.Я., Джафарли Г.М., Рубинштейн А.И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нульмерных группах (ЭЛМ, Баку, 1981).

3. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. Дополнения Н.Я. Виленкина, §1, п. 6, с. 475– 479 (Физматгиз, М., 1958).

4. Голубов Б.И., Рубинштейн А.И. Об одном классе систем сходимости, Матем. сб. 71 (113) (1), 96–115 (1966).

5. Лукомский С.Ф. О рядах Хаара на компактной нульмерной группе, Изв. Саратовск. ун-та. Сер. Матем. Механ. Информатика 9 (1), 24–29 (2009).

6. Голубов Б.И. Об одном классе полных ортогональных систем, Сиб. матем. журн. 9 (2), 297–314 (1968).

7. Щербаков В.И. Расходимость рядов Фурье по обобщенным системам Хаара в точках непрерывности функции, Изв. вузов. Матем. (1), 49–68 (2016).

8. Щербаков В.И. Признак Дини–Липшица для обобщенных систем Хаара, Изв. Саратовск. ун-та, Сер. Матем. Механ. Информатика 16 (4), 435–448 (2016).

9. Бари Н.К. Тригонометрические ряды (Физматгиз, М., 1961).

10. Зигмунд A. Тригонометрические ряды, Т. 1 (Мир, М., 1965).

11. Щербаков В.И. О поточечной сходимости рядов Фурье по мультипликативным системам, Вестн. Московск. ун-та. Сер. 1. Матем., механ. (2), 37–42 (1983).

12. Onneweer C.W., Waterman D. Uniform convergence of Fourier Series on groups. I, Michigan Math. J. 18 (3), 265–273 (1971).


Рецензия

Для цитирования:


Щербаков В.И. ПРИЗНАК ЖОРДАНА ДЛЯ СИСТЕМ ТИПА ХААРА. Известия высших учебных заведений. Математика. 2024;(11):61-80. https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-11-61-80

For citation:


Shcherbakov V.I. Jordan test for the Haar-type systems. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika. 2024;(11):61-80. (In Russ.) https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-11-61-80

Просмотров: 65


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 0021-3446 (Print)
ISSN 2076-4626 (Online)