Weighted Sobolev orthogonal systems with two discrete points and Fourier series with respect to them
https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-11-35-50
Abstract
We consider the properties of systems $\Phi_1$ orthogonal with respect to a weighted discrete-continuous Sobolev inner product of the form $\langle f,g \rangle_S = f(a)g(a)+f(b)g(b)+\displaystyle\int_a^b f'(t)g'(t)w(t)dt$. The completeness of systems $\Phi_1$ in the Sobolev space $W^1_{L^2_w}$ and the relation of $\Phi_1$ to systems orthogonal in weighted Lebesgue spaces $L^2_u$ are studied. We also analyze properties of the Fourier series with respect to systems $\Phi_1$. In particular, conditions for the uniform convergence of Fourier series to functions from $W^1_{L^2}$ are obtained.
About the Author
M. G. Magomed-Kasumov
Daghestan Federal Research Centre of the Russian Academy of Science;
Southern Mathematical Institute – the Affiliate of Vladikavkaz Scientific Center of Russian Academy of Science
Russian Federation
Russian Federation
Magomedrasul Grozbekovich Magomed-Kasumov
45 M. Gadjiev str., Makhachkala, 367000 Russia;
53 Vatutin str., Vladikavkaz, 362027 Russia
References
1. Магомед-Касумов М.Г. Соболевские системы, ортогональные относительно скалярного произведения с двумя дискретными точками, и ряды Фурье по ним, Изв. вузов. Матем. (12), 56–66 (2021).
2. Diaz-Gonzalez A., Marcell´an F., Pijeira-Cabrera H. Discrete-Continuous Jacobi-Sobolev Spaces and Fourier Series, Bull. Malays. Math. Sci. Soc. 44, 571–598 (2020), URL : https://doi.org/10.1007/s40840-020-00950-7.
3. Marcell´an F., Xu Y. On Sobolev orthogonal polynomials, Expos. Math. 33 (3), 308–352 (2015).
4. Marcell´an F., Quintana Y., Urieles A. On the Pollard decomposition method applied to some Jacobi–Sobolev expansions, Turk. J. Math. 37 (6), 934–948 (2013).
5. Ciaurri O., Minguez J. Fourier series of Jacobi–Sobolev polynomials, Integral Transf. Spec. Funct. 30 (4), 334–346 (2019).
6. Ciaurri O., Minguez J. Fourier series for coherent pairs of Jacobi measures, Integral Transf. Spec. Funct. 32 (5–8), 437–457 (2021).
7. Fejzullahu B. Asymptotic properties and Fourier expansions of orthogonal polynomials with a non-discrete Gegenbauer–Sobolev inner product, J. Approx. Theory 162 (2), 397–406 (2010), URL : https://doi.org/10. 1016/j.jat.2009.07.002.
8. Fejzullahu B., Marcell´an F., Moreno-Balc´azar J. Jacobi–Sobolev orthogonal polynomials: Asymptotics and a Cohen type inequality, J. Approx. Theory 170, 78–93 (2013), URL : https://doi.org/10.1016/j.jat.2012. 05.015.
9. Marcell´an F., Osilenker B., Rocha I. On Fourier Series of a Discrete Jacobi–Sobolev Inner Product, J. Approx. Theory 117 (1), 1–22 (2002), URL : https://doi.org/10.1006/jath.2002.3681.
10. Rocha I., Marcellan F., Salto L. Relative asymptotics and Fourier series of orthogonal polynomials with a discrete Sobolev inner product, J. Approx. Theory 121 (2), 336–356 (2003).
11. Осиленкер Б.П. Сходимость и суммируемость рядов Фурье–Соболева, Вестн. МГСУ (5), 34–39 (2012), URL : https://cyberleninka.ru/article/n/shodimost-i-summiruemost-ryadov-furie-soboleva-1.
12. Осиленкер Б.П. О линейных методах суммирования рядов Фурье по многочленам, ортогональным в дискретных пространствах Соболева, Сиб. матем. журн. 56 (2), 420–435 (2015).
13. Fejzullahu B., Marcell´an F. On convergence and divergence of Fourier expansions with respect to some Gegenbauer–Sobolev type inner product, Commun. Anal. Theory Cont. Fract. (16), 1–11 (2009).
14. Ciaurri O., Minguez J. Fourier series of Gegenbauer–Sobolev polynomials, SIGMA Symm. Integrabi. Geom. Methods Appl. (14), 1–11 (2018).
15. Шарапудинов И.И. Ортогональные по Соболеву системы функций и некоторые их приложения, УМН 74 (4 (448)), 87–164 (2019).
16. Шарапудинов И.И. Системы функций, ортогональные по Соболеву, ассоциированные с ортогональной системой, Изв. РАН. Сер. матем. 82 (1), 225–258 (2018).
17. Магомед-Касумов М Г. Система функций, ортогональная в смысле Соболева и порожденная системой Уолша, Матем. заметки 105 (4), 545–552 (2019).
18. Магомед-Касумов М.Г. Оценки скорости сходимости рядов Фурье по ортогональной в смысле Соболева системе функций, порожденной системой Уолша, в сб. : Матер. 20 международн. Cаратовской зимней школы «Современные проблемы теории функций и их приложения». Саратов, 28 января – 1 февраля 2020 г. Ч. 2. Итоги науки и техники. Соврем. матем. и ее прилож. Темат. обз. 200, 73–80 (ВИНИТИ РАН, М., 2021).
19. Gadzhimirzaev R.M. Sobolev-orthonormal system of functions generated by the system of Laguerre functions, Пробл. анал. Issues Anal. 8 (26) (1), 32–46 (2019).
20. Гаджимирзаев Р.М. О равномерной сходимости ряда Фурье по системе полиномов, порожденной си- стемой полиномов Лагерра, Изв. Саратовск. ун-та. Сер. Матем. Механ. Информатика 20 (4), 416–423 (2020).
21. Шарапудинов И.И. Полиномы, ортогональные по Соболеву, ассоциированные с полиномами Чебышёва первого рода, и задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, Дифференц. уравнения 54 (12), 1645–1662 (2018.).
22. Шарапудинов И.И. Ортогональные по Соболеву системы функций и задача Коши для ОДУ, Изв. РАН. Сер. Матем. 83 (2), 204–226 (2019).
23. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. 3-е изд. (ФИЗМАТЛИТ, М., 2007).
24. Натансон И.П. Конструктивная теория функций (ГИТТЛ, М., Л., 1949).
25. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Изд. 4 (Наука, М., 1976).
26. Сеге Г. Ортогональные многочлены (ГИФМЛ, М., 1962).
Review
For citations:
Magomed-Kasumov M.G. Weighted Sobolev orthogonal systems with two discrete points and Fourier series with respect to them. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika. 2024;(11):35-50. (In Russ.) https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-11-35-50
Views:
90
Email this article 