On rational approximations of the conjugate function on a segment by Abel–Poisson sums of Fourier–Chebyshev integral operators
https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-9-56-73
Abstract
Rational approximations of the conjugate function on the segment $[-1,~1]$ by Abel--Poisson sums of conjugate rational integral Fourier-Chebyshev operators with restrictions on the number of geometrically different poles are investigated. An integral representation of the corresponding approximations is established.
Rational approximations on the segment $[-1,~1]$ of the conjugate function with density $(1-x)^\gamma,$ $\gamma\in (1/2,~1),$ by Abel-Poisson sums are studied. An integral representation of approximations and estimates of approximations taking into account the position of a point on the segment $[-1,~1]$ are obtained. An asymptotic expression as $r\to 1$ for the majorant of approximations, depending on the parameters of the approximating function is established. In the final part, the optimal values of parameters which provide the highest rate of decrease of this majorant are found. As a corollary we give some asymptotic estimates of approximations on the segment $[-1,~1]$ of the conjugate function by Abel-Poisson sums of conjugate polynomial Fourier-Chebyshev series.
About the Authors
P. G. Potseiko
Yanka Kupala State University of Grodno
Belarus
Belarus
Pavel Gennadjevich Potseiko
22 Ozheshko str., Grodno, 230023
E. A. Rovba
Yanka Kupala State University of Grodno
Belarus
Belarus
Evgeniy Alekseevich Rovba
22 Ozheshko str., Grodno, 230023
References
1. Гахов Ф.Д. Краевые задачи (Физматгиз, М., 1958).
2. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. 3-е изд., испр. и доп. (Наука, М., 1968).
3. Поцейко П.Г., Ровба Е.А. Рациональные ряды Фурье–Чебышева и их аппроксимационные свойства (ГрГУ, Гродно, 2022).
4. Ровба Е.А., Поцейко П.Г. Приближения сопряженных функций частичными суммами сопряженных рядов Фурье по одной системе алгебраических дробей Чебышева–Маркова, Изв. вузов. Матем. (9), 68–84 (2020).
5. Поцейко П.Г., Ровба Е.А. Сопряженный рациональный оператор Фурье–Чебышева и его аппроксимационные свойства, Изв. вузов. Матем. (3), 44–60 (2022).
6. Натансон И.П. О порядке приближения непрерывной 2pi -периодической функции при помощи ее интеграла Пуассона, Докл. АН СССР 72 (1), 11–14 (1950).
7. Тиман А.Ф. Точная оценка остатка при приближении периодических дифференцируемых функций интегралами Пуассона, Докл. АН СССР 74 (1), 17–20 (1950).
8. Штарк Э.Л. Полное асимптотическое разложение для верхней грани уклонения функций из mathrm{L}mathrm{i}mathrm{p} 1 от сингулярного интеграла Абеля–Пуассона, Матем. заметки 13 (1), 21–28 (1973).
9. Жук В.В. О порядке приближения непрерывной 2pi -периодической функции при помощи средних Фейера и Пуассона ее ряда Фурье, Матем. заметки 4 (1), 21–32 (1968).
10. Русецкий Ю.И. О приближении непрерывных на отрезке функций суммами Абеля–Пуассона, Сиб. матем. журн. 9 (1), 136–144 (1968).
11. Жигалло Т.В. Приближение функций, удовлетворяющих условию Липшица на конечном отрезке вещественной оси, интегралами Пуассона–Чебышева, Пробл. управл. и информ. 3, 1–14 (2018).
12. Sz.-Nagy, В. Sur l’ordre de l’approximation d’une fonction par son int´egrale de Poisson, Acta Math. Acad. Sci. Hungaricae 1, 183–188 (1950).
13. Баскаков В.А. Асимптотические оценки приближения сопряженных функций сопряженными интегралами Абеля–Пуассона, Прим. функц. анализа в теории прибл. (5), 14–20 (Калининск. гос. ун-т, 1975).
14. Жигало К.М., Харкевич Ю.И. Повна асимптотика вiдхилення вiд класу диференцiйовних функцiй множини iх гармонiйних iнтегралiв Пуассона, Укр. матем. журн. 54 (1), 43–52 (2002).
15. Жигало К.М., Харкевич Ю.И. Наближення спряжених диференцiйовних функцiй iх iнтегралами Абеля–Пуассона, Укр. матем. журн. 61 (1), 73–82 (2009).
16. Поцейко П.Г., Ровба Е.А. Суммы Абеля–Пуассона сопряженных рядов Фурье–Чебышева и их аппроксимационные свойства, Изв. НАН Беларуси 57 (2), 156–175 (2021).
17. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т. 2 (Физматлит, М., 2001).
18. Лунгу К.Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полюсов, Матем. сб. 86(128) (2(10)), 314–324 (1971).
19. Лунгу К.Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полюсов, Сиб. матем. журн. 25 (2), 151–160 (1984).
20. Джрбашян М.М. К теории рядов Фурье по рациональным функциям, Изв. АН Арм. ССР, Сер. физ.матем. 9 (7), 3–28 (1956).
21. Фалалеев Л.П. Приближение сопряженных функций обобщенными операторами Абеля–Пуассона, Матем. заметки 67 (4), 595–602 (2000).
22. Русак В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения (БГУ, Минск, 1979).
23. Бернштейн С.Н. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной. Ч. 1 (Гл. ред. общетехн. лит-ры, М.; Л., 1937).
Review
For citations:
Potseiko P.G., Rovba E.A. On rational approximations of the conjugate function on a segment by Abel–Poisson sums of Fourier–Chebyshev integral operators. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika. 2024;(9):56-73. (In Russ.) https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-9-56-73
Views:
57
Email this article 