О РАЦИОНАЛЬНЫХ АППРОКСИМАЦИЯХ СОПРЯЖЕННОЙ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ СУММАМИ АБЕЛЯ–ПУАССОНА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ФУРЬЕ–ЧЕБЫШЕВА

Исследуются рациональные аппроксимации сопряженной функции на отрезке $[-1,~1]$ суммами Абеля-Пуассона сопряженных рациональных интегральных операторов Фу\-рье-Чебышева с ограничениями на количество геометрически различных полюсов. Устанавливается интегральное представление соответствующих приближений.

Изучаются рациональные аппроксимации на отрезке $[-1,~1]$ сопряженной функции с плотностью $(1-x)^\gamma,$ $\gamma \in (1/2,~1),$ суммами Абеля-Пуассона. Получены интегральное представление приближений и оценки приближений с учетом положения точки на отрезке. Установлено асимптотическое выражение при $r \to 1$ мажоранты приближений, зависящее от параметров аппроксимирующей функции. В заключительной части найдены оптимальные значения параметров, при которых обеспечивается наибольшая скорость убывания этой мажоранты. В качестве следствия приведены асимптотические оценки приближений на отрезке $[-1,~1]$ сопряженной функции суммами Абеля-Пуассона сопряженных полиномиальных рядов Фурье-Чебышева.

1. Гахов Ф.Д. Краевые задачи (Физматгиз, М., 1958).

2. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. 3-е изд., испр. и доп. (Наука, М., 1968).

3. Поцейко П.Г., Ровба Е.А. Рациональные ряды Фурье–Чебышева и их аппроксимационные свойства (ГрГУ, Гродно, 2022).

4. Ровба Е.А., Поцейко П.Г. Приближения сопряженных функций частичными суммами сопряженных рядов Фурье по одной системе алгебраических дробей Чебышева–Маркова, Изв. вузов. Матем. (9), 68–84 (2020).

5. Поцейко П.Г., Ровба Е.А. Сопряженный рациональный оператор Фурье–Чебышева и его аппроксимационные свойства, Изв. вузов. Матем. (3), 44–60 (2022).

6. Натансон И.П. О порядке приближения непрерывной 2pi -периодической функции при помощи ее интеграла Пуассона, Докл. АН СССР 72 (1), 11–14 (1950).

7. Тиман А.Ф. Точная оценка остатка при приближении периодических дифференцируемых функций интегралами Пуассона, Докл. АН СССР 74 (1), 17–20 (1950).

8. Штарк Э.Л. Полное асимптотическое разложение для верхней грани уклонения функций из mathrm{L}mathrm{i}mathrm{p} 1 от сингулярного интеграла Абеля–Пуассона, Матем. заметки 13 (1), 21–28 (1973).

9. Жук В.В. О порядке приближения непрерывной 2pi -периодической функции при помощи средних Фейера и Пуассона ее ряда Фурье, Матем. заметки 4 (1), 21–32 (1968).

10. Русецкий Ю.И. О приближении непрерывных на отрезке функций суммами Абеля–Пуассона, Сиб. матем. журн. 9 (1), 136–144 (1968).

11. Жигалло Т.В. Приближение функций, удовлетворяющих условию Липшица на конечном отрезке вещественной оси, интегралами Пуассона–Чебышева, Пробл. управл. и информ. 3, 1–14 (2018).

12. Sz.-Nagy, В. Sur l’ordre de l’approximation d’une fonction par son int´egrale de Poisson, Acta Math. Acad. Sci. Hungaricae 1, 183–188 (1950).

13. Баскаков В.А. Асимптотические оценки приближения сопряженных функций сопряженными интегралами Абеля–Пуассона, Прим. функц. анализа в теории прибл. (5), 14–20 (Калининск. гос. ун-т, 1975).

14. Жигало К.М., Харкевич Ю.И. Повна асимптотика вiдхилення вiд класу диференцiйовних функцiй множини iх гармонiйних iнтегралiв Пуассона, Укр. матем. журн. 54 (1), 43–52 (2002).

15. Жигало К.М., Харкевич Ю.И. Наближення спряжених диференцiйовних функцiй iх iнтегралами Абеля–Пуассона, Укр. матем. журн. 61 (1), 73–82 (2009).

16. Поцейко П.Г., Ровба Е.А. Суммы Абеля–Пуассона сопряженных рядов Фурье–Чебышева и их аппроксимационные свойства, Изв. НАН Беларуси 57 (2), 156–175 (2021).

17. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т. 2 (Физматлит, М., 2001).

18. Лунгу К.Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полюсов, Матем. сб. 86(128) (2(10)), 314–324 (1971).

19. Лунгу К.Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полюсов, Сиб. матем. журн. 25 (2), 151–160 (1984).

20. Джрбашян М.М. К теории рядов Фурье по рациональным функциям, Изв. АН Арм. ССР, Сер. физ.матем. 9 (7), 3–28 (1956).

21. Фалалеев Л.П. Приближение сопряженных функций обобщенными операторами Абеля–Пуассона, Матем. заметки 67 (4), 595–602 (2000).

22. Русак В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения (БГУ, Минск, 1979).

23. Бернштейн С.Н. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной. Ч. 1 (Гл. ред. общетехн. лит-ры, М.; Л., 1937).