Inverse problem for a fourth-order differential equation with the fractional Caputo operator
https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-9-22-33
Abstract
In this paper we consider an initial boundary value problem (direct problem) for a fourth order equation with the fractional Caputo derivative. Two inverse problems of determining the right-hand side of the equation by a given solution of the direct problem at some point are studied. The unknown of the first problem is a one-dimensional function depending on a spatial variable, while in the second problem a function depending on a time variable is found. Using eigenvalues and eigenfunctions, a solution of the direct problem is found in the form of Fourier series. Sufficient conditions are established for the given functions, under which the solution to this problem is classical. Using the results obtained for the direct problem and applying the method of integral equations, we study the inverse problems. Thus the uniqueness and existence theorems of the direct and inverse problems are proved.
About the Authors
U. D. Durdiev
Bukhara State University; Bukhara Branch of the Institute of Mathematics named after V.I. Romanovskiy
Uzbekistan
Uzbekistan
Umidjon Durdimuratovich Durdiev
11 M.Ikbol str., Bukhara, 200100; 9 University str., Tashkent, 100174
A. A. Rahmonov
Bukhara Branch of the Institute of Mathematics named after V.I. Romanovskiy; Bukhara State University
Uzbekistan
Uzbekistan
Askar Ahmadovich Rahmonov
9 University str., Tashkent, 100174;, 11 M.Ikbol str., Bukhara, 200100
References
1. Hilfer R. Applications of fractional calculus in physics (Scientific, World, 2000).
2. Kumar S. A new analytical modeling for fractional telegraph equation via Laplace trasnform, Appl. Math.
3. Modelling 38 (13), 3154–3163 (2014).
4. Sun H., Zhang Y., Baleanu D., Chen W., Chen Ya. A new collection of real world applications of fractional calculus in science and engineering, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 64, 213–231 (2018).
5. Stepan G. Delay effects in the human sensory system during balancing, Philos. Trans. R. Soc. A, Math. Phys. Eng. Sci. 367 (1891), 1195–1212 (2009).
6. Butcher E.A., Dabiri A., Nazari M., Transition curve analysis of linear fractional periodic time-delayed systems via explicit harmonic balance method, J. Comput. Nonlinear Dynam. 11 (4), 041005 (2016).
7. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики (Наука, М., 1984).
8. Дурдиев Д.К., Тотиева Ж.Д. Задача об определении одномерного ядра уравнения электровязкоупругости, Сиб. матем. журн. 58 (3), 553–572 (2017).
9. Durdiev D.K., Totieva Zh.D. The problem of determining the one-dimensional matrix kernel of the system of viscoelasticity equations, Math. Methods Appl. Sci. 41 (17), 8019–8032 (2018).
10. Дурдиев Д.К., Жумаев Ж.Ж. Задача определения тепловой памяти проводящей среды, Дифференц. уравнения 56 (6), 796–807 (2020).
11. Карчевский А.Л., Фатьянов А.Г. Численное решение обратной задачи для системы упругости с последействием для вертикально неоднородной среды, Сиб. журн. вычисл. матем. 4 (3), 259–268 (2001).
12. Карчевский А.Л. Определение возможности горного удара в угольном пласте, Сиб. журн. индустр. матем. 20 (4), 35–43 (2017).
13. Дурдиев У.Д. Численное определение зависимости диэлектрической проницаемости слоистой среды от временной частоты, Сиб. электрон. матем. изв. 17, 179–189 (2020).
14. Durdiev U., Totieva Z. A problem of determining a special spatial part of 3D memory kernel in an integro-differential hyperbolic equation, Math. Methods Appl. Sci. 42 (18), 7440–7451 (2019), DOI: 10.1002/mma.5863.
15. Дурдиев У.Д. Обратная задача для системы уравнений вязкоупругости в однородных анизотропных средах, Сиб. журн. индустр. матем. 22 (4), 26–32 (2019).
16. Ашуров Р.Р., Мухиддинова А.Т. Обратная задача по определению плотности тепловых источников для уравнения субдиффузии, Дифференц. уравнения 56 (12), 1596–1609 (2020).
17. Durdiev D.K., Bozorov Z.R., Rahmonov A.A. A two-dimensional diffusion coefficient determination problem for the time-fractional equation, Math. Methods Appl. Sci. 44 (13), 10753–10761 (2021).
18. Кочубей А.Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка, Дифференц. уравнения 25 (8), 1359–1368 (1989).
19. Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка, Дифференц. уравнения 26 (4), 660–670 (1990).
20. Eidelman S.D., Kochubei A.N. Cauchy problem for fractional diffusion equations, Diff. Equat. 199 (2), 211–255 (2004).
21. Дурдиев У.Д. Задача об определении коэффициента реакции в дробном уравнении диффузии, Дифференц. уравнения 57 (9), 1220–1229 (2021).
22. Agrawal O.P. A general solution a the fourth-order fractional diffusion-wave equation, Fract. Calculat. Appl. Anal. 3, 1–12 (2000).
23. Agrawal O.P. A general solution for a fourth-order fractional diffusion wave equation defined in bounded domain, Comput. Struct. 79 (16), 1497–1501 (2001).
24. Турдиев Х.Х. Обратные коэффициентные задачи для временно-дробного волнового уравнения с обобщенной производной Римана–Лиувилля по времени, Изв. вузов. Матем. (10), 46–59 (2023).
25. Durdiev D.K., Turdiev H.H. Inverse coefficient problem for fractional wave equation with the generalized Riemann–Liouville time derivative, Math. Meth. Appl. Sci., https://doi.org/10.1002/mma.9867(2023).
26. Durdiev D.K., Turdiev H.H. Inverse coefficient problem for fractional wave equation with the generalized Riemann–Liouville time derivative, Indian J. Pure Appl. Math., https://doi.org/10.1007/s13226-023-00517-9 (2023).
27. Durdiev D.K., Turdiev H.H. Determining of a Space Dependent Coefficient of Fractional Diffusion Equation with the Generalized Riemann–Liouville Time Derivative, Lobachevskii J. Math. 45 (2), 80–94 (2024).
28. Gong X., Wei T. Reconstruction of a time-dependent source term in a time-fractional diffusion-wave equation, Inverse Problems Sci. Engineering 27 (11), 1577–1594 (2019).
29. Дурдиев Д.К., Жумаев Ж.Ж. Обратная задача определения ядра интегро-дифференциального уравнения дробной диффузии в ограниченной области, Изв. вузов. Матем. (10), 22–35 (2023).
30. Durdiev D.K. On the uniqueness of kernel determination in the integro-differential equation of parabolic type, J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci. 19 (4), 658–666 (2015).
31. Дурдиев Д.К., Болтаев А.А., Рахмонов А.А. Задача определения ядра типа свертки в уравнении Мура– Гибсона–Томсона третьего порядка, Изв. вузов. Матем. (12), 3–16 (2023).
32. Акрамова Д.И. Обратная коэффииентная задача для дробного-диффузионного уравнения с оператором Бесселя, Изв. вузов. Матем. (9), 45–57 (2023).
33. Сабитов К.Б. К теории начально-граничных задач для уравнения стержней и балок, Дифференц. уравнения 53 (1), 89–100 (2017).
34. Сабитов К.Б. Начальная задача для уравнения колебаний балки, Дифференц. уравнения 53 (5), 665–671 (2017).
35. Сабитов К.Б. Обратные задачи для уравнения колебаний балки по определению правой части и начальных условий, Дифференц. уравнения 56 (6), 773–785 (2020).
36. Сабитов К.Б. Начально-граничные задачи для уравнения колебаний балки с учетом ее вращательного движения при изгибе, Дифференц. уравнения 57 (3), 364–374 (2021).
37. Дурдиев У.Д. Обратная задача об источнике для уравнения вынужденных колебаний балки, Изв. вузов. Матем. (8), 10–22 (2023).
38. Durdiev U.D. Inverse problem of determining an unknown coefficient in the beam vibration equation, Diff. Equat. 58 (1), 36–43 (2022).
39. Дурдиев У.Д. Обратная задача по определению неизвестных коэффициентов уравнения колебания балки в бесконечной области, Дифференц. уравнения 59 (4), 456–466 (2023).
40. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and application of fractional differetial equations (NorthHolland Mathematical Studies, Amsterdam: Elsevier, 2006).
41. Сабитов К.Б. Колебания балки с заделанными концами, Вестн. Самарск. гос. тех. ун-та. Сер. Физ.матем. науки. 19 (2), 311–324 (2015), DOI : doi.org/10.14498/vsgtu1406.
42. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области (Наука, М., 1966).
Review
For citations:
Durdiev U.D., Rahmonov A.A. Inverse problem for a fourth-order differential equation with the fractional Caputo operator. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika. 2024;(9):22-33. (In Russ.) https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-9-22-33
Views:
152
Email this article 