ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С ДРОБНЫМ ОПЕРАТОРОМ КАПУТО

В данной работе рассматривается начально-краевая задача (прямая задача) для уравнения четвертого порядка с дробной производной Капуто. Исследуются две обратные задачи определения правой части уравнения по заданному решению прямой задачи в некоторой точке. Неизвестной первой задачи является одномерная функция, зависящая от пространственной переменной, а во второй задаче ищется функция, зависящая от временной переменной. С помощью собственных чисел и функций решение прямой задачи находится в виде ряда Фурье. Устанавливаются достаточные условые на заданные функции, при выполнении которых решение этой задачи является классическим. Используя полученные результаты для прямой задачи и применяя метод интегральных уравнений изучаются обратные задачи. Таким образом, доказаны теоремы единственности и существования прямой и обратной задач.

1. Hilfer R. Applications of fractional calculus in physics (Scientific, World, 2000).

2. Kumar S. A new analytical modeling for fractional telegraph equation via Laplace trasnform, Appl. Math.

3. Modelling 38 (13), 3154–3163 (2014).

4. Sun H., Zhang Y., Baleanu D., Chen W., Chen Ya. A new collection of real world applications of fractional calculus in science and engineering, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 64, 213–231 (2018).

5. Stepan G. Delay effects in the human sensory system during balancing, Philos. Trans. R. Soc. A, Math. Phys. Eng. Sci. 367 (1891), 1195–1212 (2009).

6. Butcher E.A., Dabiri A., Nazari M., Transition curve analysis of linear fractional periodic time-delayed systems via explicit harmonic balance method, J. Comput. Nonlinear Dynam. 11 (4), 041005 (2016).

7. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики (Наука, М., 1984).

8. Дурдиев Д.К., Тотиева Ж.Д. Задача об определении одномерного ядра уравнения электровязкоупругости, Сиб. матем. журн. 58 (3), 553–572 (2017).

9. Durdiev D.K., Totieva Zh.D. The problem of determining the one-dimensional matrix kernel of the system of viscoelasticity equations, Math. Methods Appl. Sci. 41 (17), 8019–8032 (2018).

10. Дурдиев Д.К., Жумаев Ж.Ж. Задача определения тепловой памяти проводящей среды, Дифференц. уравнения 56 (6), 796–807 (2020).

11. Карчевский А.Л., Фатьянов А.Г. Численное решение обратной задачи для системы упругости с последействием для вертикально неоднородной среды, Сиб. журн. вычисл. матем. 4 (3), 259–268 (2001).

12. Карчевский А.Л. Определение возможности горного удара в угольном пласте, Сиб. журн. индустр. матем. 20 (4), 35–43 (2017).

13. Дурдиев У.Д. Численное определение зависимости диэлектрической проницаемости слоистой среды от временной частоты, Сиб. электрон. матем. изв. 17, 179–189 (2020).

14. Durdiev U., Totieva Z. A problem of determining a special spatial part of 3D memory kernel in an integro-differential hyperbolic equation, Math. Methods Appl. Sci. 42 (18), 7440–7451 (2019), DOI: 10.1002/mma.5863.

15. Дурдиев У.Д. Обратная задача для системы уравнений вязкоупругости в однородных анизотропных средах, Сиб. журн. индустр. матем. 22 (4), 26–32 (2019).

16. Ашуров Р.Р., Мухиддинова А.Т. Обратная задача по определению плотности тепловых источников для уравнения субдиффузии, Дифференц. уравнения 56 (12), 1596–1609 (2020).

17. Durdiev D.K., Bozorov Z.R., Rahmonov A.A. A two-dimensional diffusion coefficient determination problem for the time-fractional equation, Math. Methods Appl. Sci. 44 (13), 10753–10761 (2021).

18. Кочубей А.Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка, Дифференц. уравнения 25 (8), 1359–1368 (1989).

19. Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка, Дифференц. уравнения 26 (4), 660–670 (1990).

20. Eidelman S.D., Kochubei A.N. Cauchy problem for fractional diffusion equations, Diff. Equat. 199 (2), 211–255 (2004).

21. Дурдиев У.Д. Задача об определении коэффициента реакции в дробном уравнении диффузии, Дифференц. уравнения 57 (9), 1220–1229 (2021).

22. Agrawal O.P. A general solution a the fourth-order fractional diffusion-wave equation, Fract. Calculat. Appl. Anal. 3, 1–12 (2000).

23. Agrawal O.P. A general solution for a fourth-order fractional diffusion wave equation defined in bounded domain, Comput. Struct. 79 (16), 1497–1501 (2001).

24. Турдиев Х.Х. Обратные коэффициентные задачи для временно-дробного волнового уравнения с обобщенной производной Римана–Лиувилля по времени, Изв. вузов. Матем. (10), 46–59 (2023).

25. Durdiev D.K., Turdiev H.H. Inverse coefficient problem for fractional wave equation with the generalized Riemann–Liouville time derivative, Math. Meth. Appl. Sci., https://doi.org/10.1002/mma.9867(2023).

26. Durdiev D.K., Turdiev H.H. Inverse coefficient problem for fractional wave equation with the generalized Riemann–Liouville time derivative, Indian J. Pure Appl. Math., https://doi.org/10.1007/s13226-023-00517-9 (2023).

27. Durdiev D.K., Turdiev H.H. Determining of a Space Dependent Coefficient of Fractional Diffusion Equation with the Generalized Riemann–Liouville Time Derivative, Lobachevskii J. Math. 45 (2), 80–94 (2024).

28. Gong X., Wei T. Reconstruction of a time-dependent source term in a time-fractional diffusion-wave equation, Inverse Problems Sci. Engineering 27 (11), 1577–1594 (2019).

29. Дурдиев Д.К., Жумаев Ж.Ж. Обратная задача определения ядра интегро-дифференциального уравнения дробной диффузии в ограниченной области, Изв. вузов. Матем. (10), 22–35 (2023).

30. Durdiev D.K. On the uniqueness of kernel determination in the integro-differential equation of parabolic type, J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci. 19 (4), 658–666 (2015).

31. Дурдиев Д.К., Болтаев А.А., Рахмонов А.А. Задача определения ядра типа свертки в уравнении Мура– Гибсона–Томсона третьего порядка, Изв. вузов. Матем. (12), 3–16 (2023).

32. Акрамова Д.И. Обратная коэффииентная задача для дробного-диффузионного уравнения с оператором Бесселя, Изв. вузов. Матем. (9), 45–57 (2023).

33. Сабитов К.Б. К теории начально-граничных задач для уравнения стержней и балок, Дифференц. уравнения 53 (1), 89–100 (2017).

34. Сабитов К.Б. Начальная задача для уравнения колебаний балки, Дифференц. уравнения 53 (5), 665–671 (2017).

35. Сабитов К.Б. Обратные задачи для уравнения колебаний балки по определению правой части и начальных условий, Дифференц. уравнения 56 (6), 773–785 (2020).

36. Сабитов К.Б. Начально-граничные задачи для уравнения колебаний балки с учетом ее вращательного движения при изгибе, Дифференц. уравнения 57 (3), 364–374 (2021).

37. Дурдиев У.Д. Обратная задача об источнике для уравнения вынужденных колебаний балки, Изв. вузов. Матем. (8), 10–22 (2023).

38. Durdiev U.D. Inverse problem of determining an unknown coefficient in the beam vibration equation, Diff. Equat. 58 (1), 36–43 (2022).

39. Дурдиев У.Д. Обратная задача по определению неизвестных коэффициентов уравнения колебания балки в бесконечной области, Дифференц. уравнения 59 (4), 456–466 (2023).

40. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and application of fractional differetial equations (NorthHolland Mathematical Studies, Amsterdam: Elsevier, 2006).

41. Сабитов К.Б. Колебания балки с заделанными концами, Вестн. Самарск. гос. тех. ун-та. Сер. Физ.матем. науки. 19 (2), 311–324 (2015), DOI : doi.org/10.14498/vsgtu1406.

42. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области (Наука, М., 1966).