Approximation of positive solutions of symmetric eigenvalue problems with nonlinear dependence on the spectral parameter
https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-8-94-99
Abstract
A symmetric partial differential eigenvalue problem with nonlinear dependence on the spectral parameter arising in plasma physics is studied. We propose and justify new conditions for the existence of a positive eigenvalue and the corresponding positive eigenfunction. A finite element approximation of the problem preserving the property of positivity of solutions is constructed. The existence and convergence of approximate solutions are established.
About the Author
P. S. Solov’ev
Kazan Federal University
Russian Federation
Russian Federation
Pavel Sergeevich Solov’ev
18 Kremlevskaya str., Kazan, 420008
References
1. Абдуллин И.Ш., Желтухин В.С., Кашапов Н.Ф. Высокочастотная плазменно-струйная обработка материалов при пониженных давлениях. Теория и практика применения (Изд-во Казан. ун-та, Казань, 2000).
2. Желтухин В.С. О разрешимости одной нелинейной спектральной задачи теории высокочастотных разрядов пониженного давления, Изв. вузов. Матем. (5), 26–31 (1999).
3. Желтухин В.С. Об условиях разрешимости системы краевых задач теории высокочастотной плазмы пониженного давления, Изв. вузов. Матем. (1), 52–57 (2005).
4. Желтухин В.С., Соловьёв С.И., Соловьёв П.С. Аппроксимация наименьшего собственного значения нелинейной задачи Штурма–Лиувилля, Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки 157 (2), 40–54 (2015).
5. Zheltukhin V.S., Solov’ev S.I., Solov’ev P.S., Chebakova V.Yu. Computation of the minimum eigenvalue for a nonlinear Sturm–Liouville problem, Lobachevskii J. Math. 35 (4), 416–426 (2014).
6. Solov’ev S.I., Solov’ev P.S. Finite Element Approximation of the Minimal Eigenvalue of a Nonlinear Eigenvalue Problem, Lobachevskii J. Math. 39 (7), 949–956 (2018).
7. Korosteleva D.M., Solov’ev P.S., Solov’ev S.I. Finite Element Approximation of the Minimal Eigenvalue and the Corresponding Positive Eigenfunction of a Nonlinear Sturm–Liouville problem, Lobachevskii J. Math. 40 (11), 1959—1966 (2019).
8. Solov’ev S.I. Approximation of differential eigenvalue problems with a nonlinear dependence on the parameter, Diff. Equat. 50 (7), 947–954 (2014).
9. Solov’ev S.I. Approximation of nonlinear spectral problems in a Hilbert space, Diff. Equat. 51 (7), 934–947 (2015).
10. Solov’ev S.I. Eigenvibrations of a bar with elastically attached load, Diff. Equat. 53 (3), 409–423 (2017).
11. Adams R.A. Sobolev spaces (Academic Press, New York, 1975).
12. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных (Высшая школа, М., 1977).
13. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка (Наука, М., 1989).
14. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач (Мир, М., 1980).
15. Brandts J.H., Korotov S., Kˇr´ıˇzek M. The discrete maximum principle for linear simplicial finite element approximations of a reaction-diffusion problem, Linear Algebra Appl. 429 (10), 2344–2357 (2008).
16. Vejchodsk´y T. The discrete maximum principle for Galerkin solutions of elliptic problems, Cent. Eur. J. Math. 10 (1), 25–43 (2012).
17. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц (Наука, М., 1988).
18. Brenner S.C., Scott L.R. The Mathematical Theory of Finite Element Methods (Springer, New York, 2008).
19. Dauge M. Elliptic Boundary Value Problems on Corner Domains, Lecture Notes Math. 1341 (Springer, Berlin, 1988).
20. Grisvard P. Elliptic Problems in Nonsmooth Domains (Pitman, Boston, 1985).
21. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции (Наука, М., 1985).
Review
For citations:
Solov’ev P.S. Approximation of positive solutions of symmetric eigenvalue problems with nonlinear dependence on the spectral parameter. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika. 2024;(8):94-99. (In Russ.) https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-8-94-99
Views:
91
Email this article 