On Laplace invariants of two-dimensional nonlinear equations of the second order with homogeneous polynomial
https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-8-55-64
Abstract
We study two-dimensional nonlinear partial differential equations of the second order with variable coefficients. The left-hand side of these equations is a homogeneous polynomial of the second degree in unknown function and its derivatives. We consider a set of linear multiplicative transformations of the unknown function which keep the form of the initial equation. By analogy with linear equations, the Laplace invariants are determined as the invariants of this transformation. The expressions for the Laplace invariants in terms of the coefficients of the equation and their first derivatives are obtained. For the considered equations, we found the equivalent systems of the first order equations containing the Laplace invariants. It is shown that if one of the Laplace invariants equals zero, the corresponding system is reduced to one equation of the first order. Also in this case, the solution of the initial equation can be obtained in quadratures if some additional conditions on the coefficients are met. The investigations are executed for a hyperbolic equation with a mixed derivative and for a nonlinear second order equation of the general form with a homogeneous polynomial of the second degree in unknown function and its derivatives. We obtained for these cases the Laplace invariants and equivalent systems of the first order equations.
About the Author
I. V. Rakhmelevich
National Research Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod
Russian Federation
Russian Federation
Igor Vladimirovich Rakhmelevich
23 Gagarin Ave., Nizhny Novgorod, 603950
References
1. Гурса Э. Курс математического анализа. Т.3., Ч.1. (М.-Л.: ГИТТИ, 1933).
2. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных (М.: Изд-во ин. лит., 1957).
3. Джохадзе О.М. Об инвариантах Лапласа для некоторых классов линейных дифференциальных уравнений в частных производных, Дифференц. уравнения 40 (1), 58–68 (2004).
4. Миронов А.Н., Миронова Л.Б. Об инвариантах Лапласа для уравнения с доминирующей частной производной третьего порядка с двумя независимыми переменными, Матем. заметки 99 (1), 89–96 (2016). DOI: 10.4213/mzm10613
5. Миронов А.Н., Миронова Л.Б. К инвариантам Лапласа для одного уравнения с доминирующей частной производной с тремя независимыми переменными, Дифференц. уравнения 55 (1), 67–73 (2019), DOI: 10.1134/S0374064119010072.
6. Миронов А.Н. Об инвариантах Лапласа одного уравнения четвертого порядка, Дифференц. уравнения 45 (8), 1144–1149 (2009).
7. Миронов А.Н., Миронова Л.Б. Об инвариантах Лапласа для одного уравнения четвертого порядка с двумя независимыми переменными, Изв. вузов. Матем. (10), 27–34 (2014).
8. Жибер А.В., Михайлова Ю.Г. Алгоритм построения общего решения n-компонентной гиперболической системы уравнений с нулевыми инвариантами Лапласа и краевые задачи, Уфимск. матем. журн. 1 (3), 28–45 (2009).
9. Старцев С.Я. Метод каскадного интегрирования Лапласа для линейных гиперболических систем уравнений, Матем. заметки 83 (1), 107–118 (2008).
10. Старцев С.Я. О вариационной интегрирующей матрице для гиперболических систем уравнений, Фундамент. и прикл. матем. 12 (7) , 251–262 (2006).
11. Кузнецова М.Н. Преобразование Лапласа и нелинейные гиперболические уравнения, Уфимск. матем. журн. 1 (3), 87–96 (2009).
12. Жибер А.В., Соколов В.В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа, УМН 56 (1), 63–106 (2001). DOI: https://doi.org/10.4213/rm357
13. Старцев С.Я. Об инвариантах Лапласа гиперболических уравнений, линеаризуемых дифференциальной подстановкой, Теор. и матем. физ. 120 (2), 237–247 (1999).
14. Жибер А.В., Михайлова Ю.Г. О гиперболических системах уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа, Тр. ИММ УрО РАН 13 (4), 74–83 (2007).
15. Гурьева А.М., Жибер А.В. Инварианты Лапласа двумеризованных открытых цепочек Тоды, Теор. и матем. физ. 138 (3), 401–421 (2004).
16. Старцев С.Я. Структура множества симметрий гиперболических систем лиувиллевского типа и обобщенные инварианты Лапласа, Уфимск. матем. журн. 10 (4), 103–110 (2018).
17. Кушнер А.Г. Контактная линеаризация уравнений Монжа–Ампера и инварианты Лапласа, Докл. РАН 422 (5), 597–600 (2008).
Review
For citations:
Rakhmelevich I.V. On Laplace invariants of two-dimensional nonlinear equations of the second order with homogeneous polynomial. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika. 2024;(8):55-64. (In Russ.) https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-8-55-64
Views:
119
Email this article 