Локальная устойчивость системы Лотки-Вольтерра двух уравнений с одинаковым запаздыванием

Рассмотрена система Лотки-Вольтерра двух биологических видов с постоянным сосредоточенным запаздыванием, описывающая межвидовое взаимодействие. Допускается любой тип взаимодействия между видами, но величины репродуктивных периодов полагаются равными. При этих условиях получены необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости данной линейной системы. Эти условия получены как в виде области устойчивости в трехмерном пространстве параметров, так и в виде неравенств относительно величины запаздывания. Рассмотрен случай факторизации характеристического квазиполинома. Изучены устойчивые интервалы для значений запаздывания.

1. Volterra V. The general equations of biological strife in the case of historical actions, Proc. of the Edinburgh Math. Soc. Ser. 2 6 (1), 4-10 (1939).

2. Ahmed E., El-Sayed E., El-Saka H.A.A. Equilibrium points, stability and numerical solutions of fractional-order predator-prey and rabies models, J. Math. Anal. Appl. 325 (1), 542-553 (2007), DOI: 10.1016/j.jmaa.2006.01.087.

3. Merrikh-Bayat F. More Details on Analysis of Fractional-Order Lotka-Volterra Equation, arXiv (2013), URL: https://arxiv.org/abs/1401.0103.

4. Khader M., Macias-Diaz J., Roman-Loera A., Saad K. A Note on a Fractional Extension of the Lotka-Volterra Model Using the Rabotnov Exponential Kernel, Axioms 13 (1) (2024), DOI: 10.3390/axiomsl3010071.

5. Wangersky P., Cunningham W. Time lag in prey-predator population models, Ecology 38 (1), 136-139 (1957).

6. Jin Z., Ma Z. Stability for a competitive Lotka-Volterra system with delays, Nonlinear Anal. 51 (7), 1131-1142 (2002), DOI: 10.1016/S0362-546X(01)00881-l.

7. Nakaoka S., Saito Y., Takeuchi Y. Stability, delay, and chaotic behavior in a lotka-volterra predator-prey system, Math. Biosci. Engin. 3 (1), 173-187 (2006), DOI: 10.3934/mbe.2006.3.173, PMID: 20361817.

8. Fan Y.H., Li W.T. Permanence in delayed ratio-dependent predator-prey models with monotonic functional responses, Nonlinear Anal.: Real World Appl. 8 (2), 424-434 (2007).

9. Зайцев В.В., Карлов-младший А.В., Телегин С.С. ДВ-модель системы “хищник-жертва”, Вести. СамГУ Естественнонаучн. сер. 6 (72), 139-148 (2009).

10. Faria Т. Sharp conditions for global stability of Lotka-Volterra systems with distributed delays, J. Diff. Equat. 246 (11), 4391-4404 (2009).

11. Fan Y.H., Wang L.L. Periodic solutions in a delayed predator-prey model with nonmonotonic functional response, Nonlinear Anal.: Real World Appl. 10 (5), 3275-3284 (2009).

12. Gakkhar S., Singh A. Complex dynamics in a prey predator system with multiple delays, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulation 17 (2), 914-929 (2012).

13. Zhao H., Lin Y., Dai Y. Stability and global Hopf bifurcation analysis on a ratio-dependent predator-prey model with two time delays, Abstract Appl. Anal. 2013 (3) (2013).

14. Скворцова M.A. Устойчивость решений в модели хищник-жертва с запаздыванием, Матем. заметки СВФУ 23 (2), 108-120 (2016).

15. Wang L., Xu R., Feng G. Modelling and analysis of an eco-epidemiological model with time delay and stage structure, J. Appl. Math. Comput. 50 (1-2), 175-197 (2016).

16. Lv Y., Yuan R., Pei Y., Li T. Global Stability of a Competitive Model with State-Dependent Delay, J. Dynam. Diff. Equat. 29 (2), 501-521 (2017).

17. Muhammadhaji A. Dynamics of a Predator-Prey-Competition System with Pure Delays, Diff. Equat. Dynam. Syst. 30 (1), 35-49 (2020), DOI: https://doi.org/10.1007/sl2591-020-00517-9.

18. Matsumotoa A., Szidarovszky F. Time delays and chaos in two competing species revisited, Appl. Math. Comput. 395, article 125862 (2021), DOI: https://doi.Org/10.1016/j.amc.2020.125862.

19. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.В. Математические методы в биологии и экологии. Биофизическая динамика продукционных процессов: учебник для вузов (Юрайт, М., 2025).

20. Колесов Ю.С. Математические модели экологии в сб. Исследования по устойчивости и теории колебаний (ЯрГУ, Ярославль, 1979).

21. Shibata A., Saito N. Time delays and chaos in two competing species, Math. Biosci. 51 (3-4), 199-211 (1980).

22. Hutchinson G.E. A Note on the Theory of Competition between Two Social Species, Ecology 28 (3), 319—321 (1947).

23. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование (Наука, М., 1976).

24. Перцев И.В. Исследование решений интегральной модели Лотки-Вольтерра, Сиб. журн. индустр. матем. 2 (2), 153-167 (1999).

25. Azbelev N.V., Maksimov V.P., Rakhmatullina L.F. Introduction to the Theory of Linear Functional Differential Equations (World Federation Publ. Company, Atlanta, 1995).

26. Азбелев H.B., Симонов П.М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом, Изв. вузов. Матем. (6), 3-16 (1997), URL: http://mi.mathnet.ru/ivm364.

27. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения (Мир, М, 1967).

28. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения (Физматгиз, М., 1959).

29. Азбелев И.В., Симонов П.М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом. II, Изв. вузов. Матем. (4), 3-13 (2000).

30. Азбелев И.В., Березанский Л.М., Симонов П.М., Чистяков А.В. Устойчивость линейных систем с последействием. I, Дифференц. уравнения 23 (5), 745-754 (1987), URL: http://mi.mathnet.ru/de6190.

31. Mulyukov M.V. Exponential stability in delay Lotka-Volterra models with small interactions between species, Fund. Diff. Equat. 30 (1-2), 87-94 (2023).

32. Быкова A.H. Исследование устойчивости систем двух нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом по первому приближению: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук / Быкова А.И. (Чебоксары, 2002).

33. Мулюков М.В. Устойчивость трехпараметрических систем двух линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием. Ч. I, Сиб. электрон. матем. изв. 16, 2019-2054 (2019). DOI: 10.33048/semi.2019.16.145, URL: http://mi.mathnet.ru/semrll86.

34. Мулюков М.В. О факторизации характеристического квазиполинома системы линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием, Изв. вузов. Матем. (9), 38-44 (2013). DOI: 10.3103/S1066369X13090053, URL: http://mi.mathnet.ru/ivm8826.

35. Андронов А.А., Майер А.Г. Простейшие линейные системы с запаздыванием, Автомат, и телемех. 7 (2-3), 95-106 (1946).

36. Рехлицкий З.И. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, Изв. АН СССР 111 (1), 29-32 (1956).

37. Королева Ю.Е., Мулюков М.В. Модель конкуренции трех агентов с запаздыванием, Экономика 5.0: коллективный интеллект и развитие: матер. VIII Пермского экономического конгресса, Пермь, 1-2 февраля 2024 г., Пермский гос. нац. исследов. ун-т, 52-59 (2024).

38. Харитонов В.Л. К определению максимально допустимого запаздывания в задаче стабилизации, Дифферент уравнения 18 (4), 723-724 (1982).

39. Праслов В.В. Многочлены (МЦНМО, М., 2001).