izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2026-9-27-44izvuzmath-341Research ArticleСтатьиЛокальная устойчивость системы Лотки-Вольтерра двух уравнений с одинаковым запаздываниемLocal stability of the Lotka—Volterra system of two equations with the same delayМулюковМ. В.MulyukovM. V.

Мулюков Михаил Вадимович.

ул. Букирева, д. 15, Пермь, 614068; Комсомольский пр., д. 29, Пермь, 614990; ул. Полевая, д. 2, Пермь, 614089

Mikhail V. Mulyukov.

15 Bukireva str., Perm, 614068; 29 Komsomolsky Ave., Perm, 614990; 2 Polevaya str., Perm, 614089

Mulykoff@gmail.comПермский государственный национальный исследовательский университет; Пермский национальный исследовательский политехнический университет; Пермская государственная фармацевтическая академия Министерства здравоохранения РоссииРоссияPerm State National Research University; Perm National Research Polytechnic University; Perm State Pharmaceutical Academy of the Ministry of Health of the Russian FederationRussian Federation202627092026092744Copyright © Мулюков М.В., 20262026Мулюков М.В.Mulyukov M.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/341

Рассмотрена система Лотки-Вольтерра двух биологических видов с постоянным сосредоточенным запаздыванием, описывающая межвидовое взаимодействие. Допускается любой тип взаимодействия между видами, но величины репродуктивных периодов полагаются равными. При этих условиях получены необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости данной линейной системы. Эти условия получены как в виде области устойчивости в трехмерном пространстве параметров, так и в виде неравенств относительно величины запаздывания. Рассмотрен случай факторизации характеристического квазиполинома. Изучены устойчивые интервалы для значений запаздывания.

The Lotka-Volterra system of two biological species with constant concentrated delay, describing interspecies interaction, is considered. Any type of interaction between species is allowed, but the values of the reproductive periods are assumed to be equal. Under these conditions, necessary and sufficient conditions for asymptotic stability of this linear system are obtained. These conditions are obtained both in the form of a stability region in a three-dimensional parameter space and in the form of inequalities with respect to the delay value. The case of factorization of the characteristic quasi-polynomial is considered. Stable intervals for the delay values are studied.

модель Лотки-Вольтеррыфункционально-дифференциальное уравнениеуравнение с запаздываниемасимптотическая устойчивостьметод $D$-разбиенияLotka-Volterra modelfunctional differential equationdelay equationasymptotic stability$D$-partition methodАвтор выражает искреннюю признательность рецензенту за внимательное отношение к работе и глубокие замечания, которые открыли новые аспекты исследования.ReferencesVolterra V. The general equations of biological strife in the case of historical actions, Proc. of the Edinburgh Math. Soc. Ser. 2 6 (1), 4-10 (1939).Volterra V. The general equations of biological strife in the case of historical actions, Proc. of the Edinburgh Math. Soc. Ser. 2 6 (1), 4-10 (1939).Ahmed E., El-Sayed E., El-Saka H.A.A. Equilibrium points, stability and numerical solutions of fractional-order predator-prey and rabies models, J. Math. Anal. Appl. 325 (1), 542-553 (2007), DOI: 10.1016/j.jmaa.2006.01.087.Ahmed E., El-Sayed E., El-Saka H.A.A. Equilibrium points, stability and numerical solutions of fractional-order predator-prey and rabies models, J. Math. Anal. Appl. 325 (1), 542-553 (2007), DOI: 10.1016/j.jmaa.2006.01.087.Merrikh-Bayat F. More Details on Analysis of Fractional-Order Lotka-Volterra Equation, arXiv (2013), URL: https://arxiv.org/abs/1401.0103.Merrikh-Bayat F. More Details on Analysis of Fractional-Order Lotka-Volterra Equation, arXiv (2013), URL: https://arxiv.org/abs/1401.0103.Khader M., Macias-Diaz J., Roman-Loera A., Saad K. A Note on a Fractional Extension of the Lotka-Volterra Model Using the Rabotnov Exponential Kernel, Axioms 13 (1) (2024), DOI: 10.3390/axiomsl3010071.Khader M., Macias-Diaz J., Roman-Loera A., Saad K. A Note on a Fractional Extension of the Lotka-Volterra Model Using the Rabotnov Exponential Kernel, Axioms 13 (1) (2024), DOI: 10.3390/axiomsl3010071.Wangersky P., Cunningham W. Time lag in prey-predator population models, Ecology 38 (1), 136-139 (1957).Wangersky P., Cunningham W. Time lag in prey-predator population models, Ecology 38 (1), 136-139 (1957).Jin Z., Ma Z. Stability for a competitive Lotka-Volterra system with delays, Nonlinear Anal. 51 (7), 1131-1142 (2002), DOI: 10.1016/S0362-546X(01)00881-l.Jin Z., Ma Z. Stability for a competitive Lotka-Volterra system with delays, Nonlinear Anal. 51 (7), 1131-1142 (2002), DOI: 10.1016/S0362-546X(01)00881-l.Nakaoka S., Saito Y., Takeuchi Y. Stability, delay, and chaotic behavior in a lotka-volterra predator-prey system, Math. Biosci. Engin. 3 (1), 173-187 (2006), DOI: 10.3934/mbe.2006.3.173, PMID: 20361817.Nakaoka S., Saito Y., Takeuchi Y. Stability, delay, and chaotic behavior in a lotka-volterra predator-prey system, Math. Biosci. Engin. 3 (1), 173-187 (2006), DOI: 10.3934/mbe.2006.3.173, PMID: 20361817.Fan Y.H., Li W.T. Permanence in delayed ratio-dependent predator-prey models with monotonic functional responses, Nonlinear Anal.: Real World Appl. 8 (2), 424-434 (2007).Fan Y.H., Li W.T. Permanence in delayed ratio-dependent predator-prey models with monotonic functional responses, Nonlinear Anal.: Real World Appl. 8 (2), 424-434 (2007).Зайцев В.В., Карлов-младший А.В., Телегин С.С. ДВ-модель системы “хищник-жертва”, Вести. СамГУ Естественнонаучн. сер. 6 (72), 139-148 (2009).Зайцев В.В., Карлов-младший А.В., Телегин С.С. ДВ-модель системы “хищник-жертва”, Вести. СамГУ Естественнонаучн. сер. 6 (72), 139-148 (2009).Faria Т. Sharp conditions for global stability of Lotka-Volterra systems with distributed delays, J. Diff. Equat. 246 (11), 4391-4404 (2009).Faria Т. Sharp conditions for global stability of Lotka-Volterra systems with distributed delays, J. Diff. Equat. 246 (11), 4391-4404 (2009).Fan Y.H., Wang L.L. Periodic solutions in a delayed predator-prey model with nonmonotonic functional response, Nonlinear Anal.: Real World Appl. 10 (5), 3275-3284 (2009).Fan Y.H., Wang L.L. Periodic solutions in a delayed predator-prey model with nonmonotonic functional response, Nonlinear Anal.: Real World Appl. 10 (5), 3275-3284 (2009).Gakkhar S., Singh A. Complex dynamics in a prey predator system with multiple delays, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulation 17 (2), 914-929 (2012).Gakkhar S., Singh A. Complex dynamics in a prey predator system with multiple delays, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulation 17 (2), 914-929 (2012).Zhao H., Lin Y., Dai Y. Stability and global Hopf bifurcation analysis on a ratio-dependent predator-prey model with two time delays, Abstract Appl. Anal. 2013 (3) (2013).Zhao H., Lin Y., Dai Y. Stability and global Hopf bifurcation analysis on a ratio-dependent predator-prey model with two time delays, Abstract Appl. Anal. 2013 (3) (2013).Скворцова M.A. Устойчивость решений в модели хищник-жертва с запаздыванием, Матем. заметки СВФУ 23 (2), 108-120 (2016).Скворцова M.A. Устойчивость решений в модели хищник-жертва с запаздыванием, Матем. заметки СВФУ 23 (2), 108-120 (2016).Wang L., Xu R., Feng G. Modelling and analysis of an eco-epidemiological model with time delay and stage structure, J. Appl. Math. Comput. 50 (1-2), 175-197 (2016).Wang L., Xu R., Feng G. Modelling and analysis of an eco-epidemiological model with time delay and stage structure, J. Appl. Math. Comput. 50 (1-2), 175-197 (2016).Lv Y., Yuan R., Pei Y., Li T. Global Stability of a Competitive Model with State-Dependent Delay, J. Dynam. Diff. Equat. 29 (2), 501-521 (2017).Lv Y., Yuan R., Pei Y., Li T. Global Stability of a Competitive Model with State-Dependent Delay, J. Dynam. Diff. Equat. 29 (2), 501-521 (2017).Muhammadhaji A. Dynamics of a Predator-Prey-Competition System with Pure Delays, Diff. Equat. Dynam. Syst. 30 (1), 35-49 (2020), DOI: https://doi.org/10.1007/sl2591-020-00517-9.Muhammadhaji A. Dynamics of a Predator-Prey-Competition System with Pure Delays, Diff. Equat. Dynam. Syst. 30 (1), 35-49 (2020), DOI: https://doi.org/10.1007/sl2591-020-00517-9.Matsumotoa A., Szidarovszky F. Time delays and chaos in two competing species revisited, Appl. Math. Comput. 395, article 125862 (2021), DOI: https://doi.Org/10.1016/j.amc.2020.125862.Matsumotoa A., Szidarovszky F. Time delays and chaos in two competing species revisited, Appl. Math. Comput. 395, article 125862 (2021), DOI: https://doi.Org/10.1016/j.amc.2020.125862.Ризниченко Г.Ю., Рубин А.В. Математические методы в биологии и экологии. Биофизическая динамика продукционных процессов: учебник для вузов (Юрайт, М., 2025).Ризниченко Г.Ю., Рубин А.В. Математические методы в биологии и экологии. Биофизическая динамика продукционных процессов: учебник для вузов (Юрайт, М., 2025).Колесов Ю.С. Математические модели экологии в сб. Исследования по устойчивости и теории колебаний (ЯрГУ, Ярославль, 1979).Колесов Ю.С. Математические модели экологии в сб. Исследования по устойчивости и теории колебаний (ЯрГУ, Ярославль, 1979).Shibata A., Saito N. Time delays and chaos in two competing species, Math. Biosci. 51 (3-4), 199-211 (1980).Shibata A., Saito N. Time delays and chaos in two competing species, Math. Biosci. 51 (3-4), 199-211 (1980).Hutchinson G.E. A Note on the Theory of Competition between Two Social Species, Ecology 28 (3), 319—321 (1947).Hutchinson G.E. A Note on the Theory of Competition between Two Social Species, Ecology 28 (3), 319—321 (1947).Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование (Наука, М., 1976).Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование (Наука, М., 1976).Перцев И.В. Исследование решений интегральной модели Лотки-Вольтерра, Сиб. журн. индустр. матем. 2 (2), 153-167 (1999).Перцев И.В. Исследование решений интегральной модели Лотки-Вольтерра, Сиб. журн. индустр. матем. 2 (2), 153-167 (1999).Azbelev N.V., Maksimov V.P., Rakhmatullina L.F. Introduction to the Theory of Linear Functional Differential Equations (World Federation Publ. Company, Atlanta, 1995).Azbelev N.V., Maksimov V.P., Rakhmatullina L.F. Introduction to the Theory of Linear Functional Differential Equations (World Federation Publ. Company, Atlanta, 1995).Азбелев H.B., Симонов П.М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом, Изв. вузов. Матем. (6), 3-16 (1997), URL: http://mi.mathnet.ru/ivm364.Азбелев H.B., Симонов П.М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом, Изв. вузов. Матем. (6), 3-16 (1997), URL: http://mi.mathnet.ru/ivm364.Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения (Мир, М, 1967).Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения (Мир, М, 1967).Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения (Физматгиз, М., 1959).Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения (Физматгиз, М., 1959).Азбелев И.В., Симонов П.М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом. II, Изв. вузов. Матем. (4), 3-13 (2000).Азбелев И.В., Симонов П.М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом. II, Изв. вузов. Матем. (4), 3-13 (2000).Азбелев И.В., Березанский Л.М., Симонов П.М., Чистяков А.В. Устойчивость линейных систем с последействием. I, Дифференц. уравнения 23 (5), 745-754 (1987), URL: http://mi.mathnet.ru/de6190.Азбелев И.В., Березанский Л.М., Симонов П.М., Чистяков А.В. Устойчивость линейных систем с последействием. I, Дифференц. уравнения 23 (5), 745-754 (1987), URL: http://mi.mathnet.ru/de6190.Mulyukov M.V. Exponential stability in delay Lotka-Volterra models with small interactions between species, Fund. Diff. Equat. 30 (1-2), 87-94 (2023).Mulyukov M.V. Exponential stability in delay Lotka-Volterra models with small interactions between species, Fund. Diff. Equat. 30 (1-2), 87-94 (2023).Быкова A.H. Исследование устойчивости систем двух нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом по первому приближению: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук / Быкова А.И. (Чебоксары, 2002).Быкова A.H. Исследование устойчивости систем двух нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом по первому приближению: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук / Быкова А.И. (Чебоксары, 2002).Мулюков М.В. Устойчивость трехпараметрических систем двух линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием. Ч. I, Сиб. электрон. матем. изв. 16, 2019-2054 (2019). DOI: 10.33048/semi.2019.16.145, URL: http://mi.mathnet.ru/semrll86.Мулюков М.В. Устойчивость трехпараметрических систем двух линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием. Ч. I, Сиб. электрон. матем. изв. 16, 2019-2054 (2019). DOI: 10.33048/semi.2019.16.145, URL: http://mi.mathnet.ru/semrll86.Мулюков М.В. О факторизации характеристического квазиполинома системы линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием, Изв. вузов. Матем. (9), 38-44 (2013). DOI: 10.3103/S1066369X13090053, URL: http://mi.mathnet.ru/ivm8826.Мулюков М.В. О факторизации характеристического квазиполинома системы линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием, Изв. вузов. Матем. (9), 38-44 (2013). DOI: 10.3103/S1066369X13090053, URL: http://mi.mathnet.ru/ivm8826.Андронов А.А., Майер А.Г. Простейшие линейные системы с запаздыванием, Автомат, и телемех. 7 (2-3), 95-106 (1946).Андронов А.А., Майер А.Г. Простейшие линейные системы с запаздыванием, Автомат, и телемех. 7 (2-3), 95-106 (1946).Рехлицкий З.И. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, Изв. АН СССР 111 (1), 29-32 (1956).Рехлицкий З.И. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, Изв. АН СССР 111 (1), 29-32 (1956).Королева Ю.Е., Мулюков М.В. Модель конкуренции трех агентов с запаздыванием, Экономика 5.0: коллективный интеллект и развитие: матер. VIII Пермского экономического конгресса, Пермь, 1-2 февраля 2024 г., Пермский гос. нац. исследов. ун-т, 52-59 (2024).Королева Ю.Е., Мулюков М.В. Модель конкуренции трех агентов с запаздыванием, Экономика 5.0: коллективный интеллект и развитие: матер. VIII Пермского экономического конгресса, Пермь, 1-2 февраля 2024 г., Пермский гос. нац. исследов. ун-т, 52-59 (2024).Харитонов В.Л. К определению максимально допустимого запаздывания в задаче стабилизации, Дифферент уравнения 18 (4), 723-724 (1982).Харитонов В.Л. К определению максимально допустимого запаздывания в задаче стабилизации, Дифферент уравнения 18 (4), 723-724 (1982).Праслов В.В. Многочлены (МЦНМО, М., 2001).Праслов В.В. Многочлены (МЦНМО, М., 2001).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.