Анизотропные псевдодифференциальные операторы и уравнения в пространствах Гёльдера–Зигмунда переменной гладкости

Для введенных анизотропных псевдодифференциальных операторов установлены их основные свойства и доказана теорема ограниченности в анизотропных пространствах Гёльдера-Зигмунда с переменным показателем. Это позволяет рассмотреть полулинейное уравнение на $\mathbb R^n$ для гипоэллиптического псевдодифференциального оператора. Ранее такие уравнения изучались Х.~Трибелем и его коллегами для дифференциальных операторов и в пространствах постоянной гладкости. Доказаны существование и единственность решения данного уравнения при условии малости коэффициента при нелинейном слагаемом и дополнительном условии на свободный член уравнения. Установлена локальная гладкость решения в зависимости от локальной гладкости свободного члена уравнения.

1. Грушин В. В. Псевдодифференциальные операторы в BbbR n с ограниченными символами, Функц. анализ и его прил. 4 (3), 37–50 (1970).

2. H¨ormander L. The Analysis of Linear Partial Differential Operators, V. 1-4 (Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokio, 1983–1985).

3. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения (Наука, М., 1969).

4. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения (Наука, М., 1975).

5. Stein E. M. Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals (Univ. Press, Princeton, 1993).

6. Triebel H. Theory of Function Spaces III (Birh¨auser Verlag, Basel-Boston-Berlin, 2006).

7. Grafakos L. Modern Fourier Analysis (Springer, New York, 2014).

8. Beals R. Lp and H¨older estimates for pseudodifferential operators:sufficient conditions, Ann. Inst. Fourier 29 (3), 239–260 (1979).

9. Кряквин В.Д. Об ограниченности псевдодифференциальных операторов в пространствах Гёльдера– Зигмунда переменного порядка, Сиб. матем. журн. 55 (6), 1315–1327 (2014).

10. Kryakvin V., Omarova G. Spectral invariance for pseudodifferential operators in Holder-Zygmund spaces of the variable smoothness, J. Pseudo-Diff. Oper. Appl. 9 (1), 95–104 (2018).

11. Kryakvin V., Rabinovich V. Pseudodifferential operators in weighted H¨older-Zygmund spaces of variable smoothness, Operator Theory: Adv. Appl. 259, 511–531 (2017).

12. Кряквин В. Д., Рабинович В. С. Псевдодифференциальные операторы в пространствах Бесова переменной гладкости, Матем. заметки 104 (4), 571–587 (2018).

13. Farkas W. Atomic and Sybatomic Decomposition in Anisotropic Function Spaces, Math. Nachrichten 209 (1), 83–113 (2000).

14. Dachkovski S. Anisotropic function spaces and related semi-linear hypoelliptic equations, Math. Nachrichten 248–249 (1), 40–61 (2003).

15. Bownik M. Atomic and molecular decompositions of anisotropic Besov spaces, Math. Z. 250 (1), 539–571 (2005).

16. Бабаев А. Б. Об эквивалентных нормах анизотропных пространств Гёльдера–Зигмунда переменной гладкости, Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки 4 (1), 5–12 (2024).

17. Kumano-go H. Pseudodifferential Operators (MIT Presss, Cambrige, 1982).

18. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных (Высш. шк., М., 1977).

19. Yamazaki M. A quasi-homogeneous version of paradifferential operators, I. Boundedness on spaces of Besov type, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. I.A, Math. 33, 131–174 (1986).