Характеристика изохронных фокусов двумерных голоморфных дифференциальных систем

Рассматриваются двумерные автономные системы дифференциальных уравнений вида $ \dot{x}=-y-P(x,y), \dot{y}=x+Q(x,y), $ где $P$ и $Q$ --- голоморфные в окрестности начала координат функции, не содержащие в своих разложениях в степенные ряды по переменным $x$ и $y$ свободных и линейных членов. В работе получены необходимые и достаточные условия для того, чтобы начало координат являлось изохронным фокусом рассматриваемой системы. Доказана равносильность двух определений изохронного фокуса, использующих голоморфную нормальную форму Пуанкаре--Дюлака и изохронное сечение соответственно. В случае второго определения показано, что нормализующее преобразование (как и в случае изохронного центра) всегда можно выбрать сходящимся. Приведены примеры.

1. Абдуллаев Н.А. Об изохронности при нелинейных колебаниях, Тр. Таджикс. учительск. ин-та им. С.С. Айни 2, 71–78 (1954).

2. Амелькин В.В., Лукашевич Н.А., Садовский A.П. Нелинейные колебания в системах второго порядка (БГУ, Минск, 1982).

3. Ван Д., Ли Ч., Чоу Ш.-Н. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости (МЦНМО, М., 2005).

4. Algaba A., Reyes M. Characterizing isochronous points and computing isochronous sections, J. Math. Anal. Appl. 355, 564–576 (2009).

5. Амелькин В.В. Об изохронности в случаях центра и негрубого фокуса, Дифференц. уравнения 18 (6), 1073–1075 (1982).

6. Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений, Тр. Моск. матем. о-ва 25, 119–262 (1971).

7. Токарев С.П. Гладкая эквивалентность систем дифференциальных уравнений на плоскости в случае негрубого фокуса, Дифференц. уравнения 13 (5), 892–897 (1977).

8. Gin´e J. Isochronous Foci for Analytic Differential Systems, Int. J. Bifurcation Chaos. 13 (6), 1617–1623 (2003).

9. Gin´e J., Grau M. Characterization of isochronous foci for planar analytic differential systems, Proc. Royal Soc. Edinburgh. 135A (5), 985–998 (2005).

10. Sabatini M. Non-periodic isochronous oscillations in plane differential systems, Ann. di Matem. Pura Appl. 182 (4), 487–501 (2003).

11. Амелькин В.В. Изохронные и сильно изохронные фокусы полиномиальных систем Льенара, Дифференц. уравнения 58 (1), 3–10 (2022).

12. Chavarriga J., Sabatini M. A survey of isochronous centers, Qual. Theory Dyn. Syst. 1, 1–70 (1999).

13. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (Наука, М., 1978).

14. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений (Высш. шк., М., 1991).

15. Амелькин В.В., Тыщенко В.Ю. Изохронные центры и фокусы двумерных голоморфных дифференциальных систем, Изв. вузов. Матем. (11), 3–11 (2024).

16. Куклес И.С., Пискунов Н.С. Об изохронности колебаний для консервативных и неконсервативных систем, ДАН СССР 17 (9), 467–470 (1937).

17. Чемоданов В.И. Об изохронности в случае фокуса, Дифференц. уравнения 5 (5), 964–966 (1969).