Оптимальная интерполяционная формула с производными в пространстве Соболева

Рассматривается построение оптимальной интерполяционной формулы, предназначенной для аппроксимации функций в гильбертовом пространстве $L_2^{(3)}(0,1)$. Это пространство охватывает квадратично-интегрируемые функции с третьей обобщенной производной в интервале $[0,1]$. Интерполяционная формула представляет собой линейную комбинацию значений функции, их первой и второй производной в равноотстоящих узлах в интервале $[0,1]$. Коэффициенты определяются путем минимизации нормы функционала погрешности в сопраженном пространстве $L_2^{(3)*}(0,1)$. Этот функционал погрешности определяется как разность между функцией и ее аппроксимацией.

Ключевые результаты исследования включают явные выражения для коэффициентов и норму функционала ошибки. Здесь формулируется и решается задача оптимизации приближения, в результате чего получается система линейных уравнений для коэффициентов. Рассматривается аналитическое решение системы, дающие явные выражения для оптимальных коэффициентов.

Кроме того, интегрирование полученной оптимальной интерполяционной формулы по интервалу $[0,1]$ приводит к квадратурной формуле Эйлера--Маклорена. Демонстрируется применение этих результатов при оценке погрешности интерполяционной формулы для функций из $L_2^{(3)}(0,1)$.

1. Runge C. On Empirical Functions and Interpolation between Equidistant Ordinates, Zeitschrift fur Math. und Phys. 46, 224–243 (1901).

2. Epperson J.F. On the Runge Example, Amer. Math. Monthly 94 (4), 329–341 (1987), DOI: 10.2307/2323093.

3. Berrut J.-P., Trefethen L.N. Barycentric Lagrange Interpolation, SIAM Review 46 (3), 501–517 (2004), DOI:10.1137/S0036144502417715.

4. Babaev S.S., Hayotov A.R. Optimal Interpolation Formulas in the Space W2 (m,m - 1), Calcolo, Springer Int. Publ. 56(3), 1–25 (2019), DOI: 10.1007/s10092-019-0320-9.

5. Babaev S.S., Davronov J.R., Abdullaev A., Polvonov S.Z. Optimal Interpolation Formulas Exact for Trigonometric Functions, AIP Conf. Proc. 2997, 20064 (2023), DOI: 10.1063/5.0144754.

6. Babaev S., Olimov N., Imomova Sh., Kuvvatov B. Construction of natural L-spline in W2,σ(2,1) space, AIP Conf. Proc. 3004, 060021 (2024), DOI: 10.1063/5.0199595.

7. Hayotov A.R., Babaev S.S., Imomova Sh.M., Olimov N. Error functional of optimal interpolation formulas in W2,σ(2,1) space, AIP Conf. Proc. 2781, 020044 (2023), DOI: 10.1063/5.0144752.

8. Shadimetov Kh.M., Hayotov A.R. Construction of interpolating splines minimizing the semi-norm in W2(m,m - 1) (0, 1) space, Bit Numer. Math. 53(2), 545–563 (2013), DOI: 10.1007/s10543-012-0407-z.

9. Shadimetov Kh.M., Boltaev A.K. An Exponential-Trigonometric Optimal Interpolation Formula, Lobachevskii J. Math. 44 (10), 4379–4392 (2023), DOI: 10.1134/S1995080223100359.

10. Shadimetov Kh., Boltaev A. System for finding the optimal coefficients of an interpolation spline, AIP Conf. Proc. 3004 (1), 060036 (2024), DOI: 10.1063/5.0199834.

11. Шадиметов Х.М., Маматова Н.Х. О задаче оптимального интерполирования функций, Изв. вузов. Матем. (12), 59–70 (2023), DOI: 10.26907/0021-3446-2023-12-59-70.

12. Shadimetov M.Kh., Hayotov A.R., Nuraliyev F.A. Optimal interpolation formulas with derivatives in the space L2(m) (0, 1), Filomat 33 (17), 5661–5675 (2019), DOI: 10.2298/FIL1917661S.

13. Ююкин И.В. Применение метода сплайн-функций в компьютерной визуализации подводного рельефа, Вестн. Гос. ун-та морского и речного флота им. адм. С.О. Макарова 13 (1), 64–79 (2021).

14. Ognewski J. Cubic Spline Interpolation in Real-Time Applications using Three Control Points, Int. Conf. Central Europe on Computer Graphics, Visualization and Computer Vision WSCG (2019).

15. Rokiah R.A., Najah Gh., Azmin Sh.R., Ummul Kh.S.Din, Nasruddin H. Application of Cubic Spline in the Implementation of Braces for the Case of a Child, J. Math. and Stat. 8(1), 144–149 (2012).

16. Бабаев С.С., Маматова Н.Х., Хаётов А.Р. Оптимальные интерполяционные формулы в пространстве L2(m) (0, 1), Uzb. Math. J. (2), 23–31 (2017).

17. Hayotov A.R., Babaev S.S., Olimov N.N. An optimal interpolation formula of Hermite type in the Sobolev space, Filomat 38 (23) (2024).

18. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул (Наука, М., 1974).

19. Шадиметов X.M. Дискретный аналог оператора и его построение, Вопр. вычисл. и прикл. матем. (79), 22–35 (1985).