Generate QR code
Open Access
Subscription Access
An approximate method for solving a characteristic singular integral equation
https://doi.org/10.26907/0021-3446-2025-8-56-68
Abstract
Many problems in science and engineering are naturally reduced to singular integral equations. Moreover, planar problems are reduced to one-dimensional singular integral equations. In the present paper, we develop an optimal algorithm for the approximate solution of one-dimensional singular integral equations with the Cauchy kernel. Here, we focus on finding the analytical form of the coefficients of the optimal quadrature formula. We apply these coefficients to an approximate solution of the Fredholm singular integral equation of the first kind. Thus, we demonstrate the possibility of solving singular integral equations with higher accuracy using the optimal quadrature formula.
About the Authors
Kh. M. Shadimetov
Tashkent State Transport University; V.I. Romanovskiy Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan
Uzbekistan
Uzbekistan
Khalmatvay Makhkambaevich Shadimetov
1 Odilkhodjaev str., Tashkent, 100167; 9 University str., Tashkent, 100174
D. M. Akhmedov
V.I. Romanovskiy Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan; Tashkent International University,
Uzbekistan
Uzbekistan
Dilshod Mashrabovich Akhmedov
9 University str., Tashkent, 100174 ; 7 Kichik khalka yoli, Tashkent, 100084
A. Kh. Avezov
Bukhara State University
Uzbekistan
Uzbekistan
Alijon Khayrullaevich Avezov
11 M. Ikbol str., Bukhara, 200118
References
1. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях (Наука, М., 1985).
2. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент (Янус, М., 1995).
3. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов (Наука, М., 1967).
4. Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы (Наука, М., 1981).
5. Салихов Г.Н. Кубатурные формулы для многомерных сфер (Фан, Т., 1985).
6. Stround A.H. Approximate calculation of multiple integrals (Englewood cliffs, NY., 1971).
7. Cools R., Kim K.J. "Rotation invariant cubature formulas over the n-dimensional unit cube", J. Comput. Appl. Math. 132, 15-32 (2001).
8. Бахвалов Н.С. Численные методы (Лаборатория базовых знаний, М., 2001).
9. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы (Наука, М., 1975).
10. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло (Наука, М., 1973).
11. Михайлов Г.А. Некоторые вопросы теории методов Монте-Карло (Наука, Н., 1974).
12. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе (Физматгиз, М., 1963).
13. Ченцов Н.Н. "О модифицированном рекуррентном алгоритме Коробова построения равномерной сетки в многомерном кубе", Вопр. вычисл. и прикл. матем. 38, 127-133 (1970).
14. Жилейкин Я.М. "О квадратурных формулах на классах функций", ЖВМиМФ 3, 507-516 (1968).
15. Шарыгин И.Ф. "О применении теоретико-числовых методов интегрирования в случае непериодических функций", ДАН СССР 132, 71-74 (1960).
16. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул (Наука, М., 1974).
17. Sard A. "Integral representations of remarkable", Duke Math. J. 15, 333-345 (1948).
18. Габдулхаев Б.Г. "Сплайн-методы решения одного класса сингулярных интегро-дифференциальных уравнений", Изв. вузов. Матем. (6), 14-24 (1975).
19. Габдулхаев Б.Г. "Об оптимальных квадратурных формулах для сингулярных интегралов", Изв. вузов. Матем. (3), 24-39 (1978).
20. Даутов Р.З. "Точная оценка погрешности наилучшего приближения алгебраическими полиномами в весовом L2(−1,1)", Изв. вузов. Матем. (5), 61-63 (2013).
21. Даутов Р.З. "Прямые и обратные теоремы аппроксимации функций алгебраическими полиномами и сплайнами в нормах пространства Соболева", Изв. вузов. Матем. (6), 79-86 (2022).
22. Michlin S.G., Prö{ß}dorf S. Singuläre Integraloperatoren (Akademie-Verlag, Berlin, 1980).
23. Иванов В.В. "Методы приближенного решения сингулярных интегральных уравнений", Итоги науки и техн. Матем. ан., 125-177 (1965).
24. Габдулхаев Б.Г. "Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений", Итоги науки и техн. Матем. ан. 18, 251-307 (1980).
25. Лифанов И.К., Тыртышников Е.Е. "Теплицевы матрицы и интегральные уравнения", Вычисл. процессы и системы 7, 94-278 (1990).
26. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений (Наук. думка, Киев, 1968).
27. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач (Изд-во Казанск. ун-та, Казань, 1980).
28. Габдулхаев Б.Г. "Проекционные методы решения сингулярных интегральных уравнений", Изв. вузов. Матем. (7), 12-24 (2004).
29. Габдулхаев Б.Г., Тихонов И.Н. "Квадратурно-кубатурный метод решения нелинейных бисингулярных интегральных уравнений с монотонными операторами", Изв. вузов. Матем. (6), 14-24 (2006).
30. Габдулхаев Б.Г. "О непрерывности и компактности сингулярных интегральных операторов", Изв. вузов. Матем. (8), 3-10 (2009).
31. Qinghua W., Mengjun S. "On the convergence rate of collocation methods for Volterra integral equations with weakly singular oscillatory trigonometric kernels", Results Appl. Math. 17, 100352 (2023).
32. Akhmedov D., Shadimetov Kh. "Optimal quadrature formulas with derivative for Hadamard type singular integrals", AIP Conf. Proc. 2365, 020020 (2021).
33. Akhmedov D. "Approximate Solution of a Class of Singular Integral Equations of the First Kind", AIP Conf. Proc. 3004, 060033 (2024).
34. Nuraliev F. "Cubature formulas of Hermite type in the space of periodic functions of two variables", AIP Conf. Proc. 2365, 020031 (2021).
35. Shadimetov Kh. and Boltaev A. "An exponential-trigonometric optimal interpolation formula", Lobachevskii J. Math. 44, 4379-4392 (2023).
36. Shadimetov Kh.M., Hayotov A.R. "Optimal quadrature formulas with positive coefficients in L(m)2 space", J. Comput. Appl. Math. 235, 1114-1128 (2011).
37. Шадиметов Х.М. "Дискретный аналог оператора d2m/dx2m и его построение", Вопр. вычисл. и прикл. матем. 79, 22-35 (1985).
Review
For citations:
Shadimetov Kh.M., Akhmedov D.M., Avezov A.Kh. An approximate method for solving a characteristic singular integral equation. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika. 2025;1(8):56-68. (In Russ.) https://doi.org/10.26907/0021-3446-2025-8-56-68
Views:
9
Email this article 