Оценки точности методов регуляризации и корректность нелинейных условных экстремальных задач

Рассматривается задача минимизации нелинейного функционала на замкнутом множестве в гильбертовом пространстве. Минимизируемый функционал и допустимое множество могут быть заданы с погрешностью. Устанавливается, что необходимым и достаточным условием существования процедур регуляризации с оценкой точности, равномерной на различных классах функционалов и допустимых множеств, является равномерная корректность указанных классов задач минимизации. Получено необходимое и достаточное условие существования регуляризующего оператора, не использующего информацию об уровне погрешности исходных данных. Доказательства частично опираются на вариационные принципы Экланда и Борвейна-Прайса. Аналогичные результаты ранее были известны для процедур регуляризации некорректных обратных задач, а также для экстремальных задач без ограничений.

1. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач (Наука, М., 1981).

2. Васильев Ф.П. Методы оптимизации (Факториал Пресс, М., 2002).

3. Kaplan A., Tichatschke R. Stable Methods for Ill-Posed Variational Problems (Akad. Verlag, Berlin, 1994).

4. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи (Наука, М., 1995).

5. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректных задач (Наука, М., 1989).

6. Кокурин М.Ю. "Об условно-корректных и обобщенно-корректных задачах", Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 53 (6), 857-866 (2013).

7. Kokurin M.Yu. "On a characteristic property of conditionally well-posed problems", J. Inv. Ill-Posed Probl. 23 (3), 245-262 (2015).

8. Кокурин М.Ю. Элементы общей теории регуляризации некорректных задач (ИКИ, М.-Ижевск, 2023).

9. Обэн Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ (Мир, М., 1988).

10. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. "Несколько замечаний о вариационных принципах", Матем. заметки 61 (2), 305-311 (1997).

11. Borwein J.M., Zhu Q.J. Techniques of Variational Analysis (Springer, Berlin, 2005).