Осцилляционные неравенства на вещественных и эргодических пространствах H¹. II

Пусть $(x_n)$ — последовательность и $\rho\geq 1$. Для двух фиксированных последовательностей $n_1<n_2<n_3<\dots$ и $M$ определим осцилляционный оператор

$$\mathcal{O}_\rho (x_n)=(\sum_{k=1}^\infty\sup_{\substack{n_k\leq m< n_{k+1}\\m\in M}}\left|x_m-x_{n_k}\right|^\rho)^{1/\rho}.$$

Пусть $(X,\mathscr{B} ,\mu , \tau)$ — динамическая система, где $(X,\mathscr{B} ,\mu )$ — вероятностное пространство, а $\tau$ — измеримое, обратимое, сохраняющее меру отображение из $X$ в себя.

Предположим, что последовательность $(n_k)$ является лакунарной, а $M$ — такая произвольная последовательность положительных вещественных чисел, что существует $\ell \in \mathbb{R}$, удовлетворяющее условию

                                                   $\#\{m\in M:n_k\leq m<n_{k+1}\}\leq \ell$

для всех $k\in \mathbb{N}$, где $\#$ обозначает мощность множества. Тогда для $\rho\geq 2$ в статье доказываются следующие результаты.

(i) Определим $\phi_n(x)=\dfrac{1}{n}\chi_{[0,n]}(x)$ на $\mathbb{R}$. Тогда существует константа $C>0$ такая, что

$$\|\mathcal{O}_\rho (\phi_n\ast f)\|_{L^1(\mathbb{R})}\leq C\|f\|_{H^1(\mathbb{R})}$$

для всех $f\in H^1(\mathbb{R})$.

(ii) Пусть $\displaystyle A_nf(x)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(\tau^kx)$ — обычные эргодические средние из эргодической теории.

Тогда

$$\|\mathcal{O}_\rho (A_nf)\|_{L^1(X)}\leq C\|f\|_{H^1(X)}$$

для всех $f\in H^1(X)$.

(iii) Если $[f(x)\log (x)]^+$ интегрируема, то $\mathcal{O}_\rho (A_nf)$ тоже интегрируема.

В ранее опубликованной статье автора (С. Демир “Осцилляционные неравенства на вещественных и эргодических пространствах $H^1$”, Изв. вузов. Матем. (3), 52–62 (2023)) вышеупомянутые результаты были получены в случае, когда как последовательность $(n_k)$, так и $M$ являются лакунарными. Таким образом, результаты данной работы обобщают эти результаты на нелакунарную последовательность $M$ с более общим условием роста.

1. Гапошкин В.Ф. Одна теорема о сходимости почти всюду последовательности измеримых функций и ее применения к последовательностям стохастических интегралов, Матем. сб. 104 (1), 3–21 (1977).

2. Гапошкин В.Ф. Об индивидуальной эргодической теореме для нормальных операторов в L2, Функц. анализ и его прил. 15 (1), 18–22 (1981).

3. Jones R.L., Kaufman R., Rosenblatt J.M., Máté Wierdl Oscillation in ergodic theory, Ergodic Theory and Dynam. Sys. 18 (4), 889–935 (1998).

4. Демир С. Осцилляционные неравенства на вещественных и эргодических пространствах H1, Изв. вузов. Матем. (3), 52–62 (2023).

5. Demir S. A Generalizaition of Calderón Transfer Principle, J. Computer and Math. Sci. 9 (5), 325–329 (2018).

6. Caballero R., de la Torre A. An atomic theory of ergodic Hp spaces, Studia Math. 82 (1), 39–59 (1985).

7. Ornstein D. A remark on the Birkhoff ergodic theorem, Illinois J. Math. 15 (1), 77–79 (1971).

8. Demir S. Hp Spaces and Inequalities in Ergodic Theory, Ph.D Thesis (Univ. Illinois at Urbana-Champaign, USA, May 1999).