Оператор блочного проектирования в алгебре измеримых операторов

Аннотация

Пусть τ точный нормальный полуконечный след на алгебре фон Неймана M. Исследован оператор блочного проектирования P_n (n ≥ 2) в ^∗-алгебре S(M, τ ) всех τ -измеримых операторов. Показано, что A ≤ nP_n(A) для каждого оператора A ∈ S(M, τ )⁺. Если оператор A ∈ S(M, τ )⁺ обратим в S(M, τ ), то P_n(A) обратим в S(M, τ ). Пусть A = A^∗ ∈ S(M, τ ). Тогда  (i) если P_n(A) ≤ A (или P_n(A) ≥ A), то P_n(A) = A; (ii) P_n(A) = A тогда и только тогда, когда P_kA = AP_k для всех k = 1, . . . , n; (iii) если A, P_n(A) ∈ M являются проекторами, то n(A) = A. Получены четыре следствия. Уточнен и усилен один пример из работы “A. Bikchentaev, F. Sukochev, Inequalities for the block projection operators, J. Funct. Anal. 280 (7), article 108851, 18 p. (2021)”.