On the infinite number of eigenvalues of the two-particle Schrödinger operator on a lattice
https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-12-3-11
Abstract
We consider the Schrödinger operator $H(\mathbf{k})=H_0(\mathbf{k})-V, \,\, \mathbf{k}\in \mathbb{T}^2,$ associated with a system of two particles on a two-dimensional lattice. It is shown that the subspaces of even as well as odd functions are invariant under operator $H(\mathbf{k}).$ The sets of quasimomenta $\mathcal{K}(1),$ $\mathcal{K}(2)$ and the class of potentials $\mathrm{P}(1),$ $\mathrm{P}(2)$ are described, for which the operator $H(\mathbf{k})$ has infinite number of eigenvalues $z_n(\mathbf{k}),\, n\in \mathbb{Z}_+$, for $\mathbf{k}\in \mathcal{K}(j),\,\, \hat{v}\in \mathrm{P}(j)$. The explicit form of $z_n(\mathbf{k})$ and the rate of convergence of the sequence $z_n(\mathbf{k})$ to the bottom of the essential spectrum are found.
About the Authors
J. I. Abdullaev
Samarkand State University named after Sharof Rashidov,
Uzbekistan
Uzbekistan
Janikul Ibragimovich Abdullaev
15 University blv., Samarkand, 140104
A. M. Khalkhuzhaev
V.I. Romanovskiy Institute of Mathematics, Uzbekistan Academy of Sciences; Bukhara State University; Samarkand State University named after Sharof Rashidov
Uzbekistan
Uzbekistan
Ahmad Miyassarovich Khalkhuzhaev
81 M. Ulugbek Ave., Tashkent, 100170;11 M. Ikbol str., Bukhara, 200118; 15 University blv., Samarkand, 140104
Yu. S. Shotemirov
Navoi State Pedagogical Institute,
Uzbekistan
Uzbekistan
Yuldosh Safarovich Shotemirov
45 Ibn Sino str., Navoi, 210100
References
1. Mattis D.C. The Few-Body Problem on a Lattice, Rev. Modern Phys. 58 (2), 361–379 (1986).
2. Faria da Veiga P.A., Ioriatti L., O’Carroll M. Energy-momentum spectrum of some two-particle lattice Schrödinger Hamiltonians, Phys. Rev. E, 66 (1) (2002).
3. Abdullaev J.I., Ikromov I.A. Finiteness of the number of eigenvalues of the two-particle Schrödinger operator on a lattice, Theor. and Math. Phys. 152 (3), 1299–1312 (2007).
4. Abdullaev J.I., Khalkhuzhaev A.M., Usmonov L.S. Monotonicity of the eigenvalues of the two-particle Schrödinger operator a lattice, Nanosystems Phys. Chemistry Math. 12 (6), 657–663 (2021).
5. Абдуллаев Ж.И., Халхужаев А.М., Расулов Т.Х. Инвариантные подпространства и собственные значения трехчастичного дискретного оператора Шрёдингера, Изв. вузов. Матем. (9), 3–19 (2023).
6. Бахронов Б.И., Расулов Т.Х., Рехман М. Условия существования собственных значений трехчастичного решетчатого модельного гамилтониана, Изв. вузов. Матем. (7), 3–12 (2023).
7. Faddeev L.D., Merkuriev S.P. Quantum Scattering Theory for Several Particle Systems (Kluwer Academic Publ., 1993).
8. Mogilner A.I. Hamiltonians in solid state physics as multiparticle discrete Schrödinger operators: problems and result, Many Particle Hamiltonians: Spectra and Scattering, Adv. Soviet Math. 5, 139–194 (1991).
9. Маматов Ш.С., Минлос Р.А. Связанные состояния двухчастичного кластерного оператора, Теор. И матем. физ. 79 (2), 163–179 (1989).
10. Minlos R.A., Mogilner A.I. Some Problems Concerning Spectra of Lattice Models, in: Schrödinger Operators, Standard and Nonstandard, Proc. Conf. in Dubna, USSR, 6–10 September, P. Exner and P. Seba, eds., World Sci., Singapore, 243–257 (1989).
11. Абдуллаев Ж.И., Халхужаев А.М., Хужамиеров И.А. Условие существования собственного значения трехчастичного оператора Шрёдингера на решетке, Изв. вузов. Матем. (2), 3–25 (2023).
12. Расулов Т.Х., Мухитдинов Р.Т. Конечность дискретного спектра модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке, Изв. вузов. Матем. (1), 61–70 (2014).
13. Расулов Т.Х. Уравнение Фаддеева и местоположение существенного спектра модельного оператора нескольких частиц, Изв. вузов. Матем. (12), 59–69 (2008).
14. Лакаев С.Н., Халхужаев А.М. О спектре двухчастичного оператора Шрёдингера на решетке, Теор. И матем. физ. 155 (2), 287–300 (2008).
15. Абдуллаев Ж.И., Мамиров Б.У. Асимптотика собственных значений двухчастичного дискретного оператора Шрёдингера, Теор. и матем. физ. 176 (3), 417–428 (2013).
Review
For citations:
Abdullaev J.I., Khalkhuzhaev A.M., Shotemirov Yu.S. On the infinite number of eigenvalues of the two-particle Schrödinger operator on a lattice. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika. 2024;(12):3-11. (In Russ.) https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-12-3-11
Views:
120
Email this article 