Обратная задача определения ядра интегро-дифференциального уравнения дробной диффузии в ограниченной области

Исследуется обратная задача определения ядра в одномерном интегро-дифференциальном уравнении диффузии с дробной производной по времени с начально-краевыми условиями и условиями переопределения. Сначала вводится эквивалентная этой задаче вспомогательная задача. Методом Фурье вспомогательная задача сводится к эквивалентным интегральным уравнениям. Затем, используя оценки функции Миттаг-Леффлера и метод последовательных приближений, находится оценка решения прямой задачи через норму неизвестного ядра, эта оценка будет использоваться при исследовании обратной задачи. Обратная задача сводится к эквивалентному интегральному уравнению. Для решения этого уравнения применяется принцип сжимающего отображения. Доказаны результаты о локальном существовании и глобальной единственности.

1. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations (Elsevier, Amsterdam, 2006).

2. Freed A., Diethelm K., Luchko Yu. Fractional-order viscoelasticity (FOV): Constitutive Development Using the Fractional Calculus (NASA's Glenn Research Center, Ohio, 2002).

3. Goren o R., Mainardi F. Random walk models for space-fractional diffusion processes, Fract. Calc. Appl. Anal. (1), 167-191 (1998).

4. Hilfer R. Applications of Fractional Calculus in Physics (World Scientific, Singapore, 2000).

5. Chechkin A.V., Goren o R., Sokolov I.M. Fractional diffusion in inhomogeneous media, J. Phys. A: Math. Gen. 38 (42), 679-684 (2005).

6. Mainardi F., Tomirotti M. Seismic pulse propagation with constant Q and stable probability distributions, Ann. Geofis. 40 (5), 1311-1328 (1997).

7. Metzler R., Klafter J. The random walk's guide to anomalous diffusion: A fractional dynamics approach, Phys. Rep. 339 (1), 1-77 (2000).

8. Podlubny I. Fractional Differential Equations (Academic Press, San Diego, 1999).

9. Durdiev D.K., Nuriddinov Z.Z. Determination of a multidimensional kernel in some parabolic integro-differential equation, Журн. Сиб. фед. ун-та. Сер. Матем. и физ. 14 (1), 117-127 (2021).

10. Durdiev D.K., Zhumaev Zh.Zh. Problem of determining a multidimensional thermal memory in a heat conductivity equation, Meth. Funct. Anal. and Topology 25 (3), 219-226 (2019).

11. Дурдиев У.Д. Обратная задача по определению неизвестного коэффициента в уравнении колебания балки, Диф. уравнения 58 (1), 37-44 (2022).

12. Durdiev D.K., Zhumaev Zh.Zh. Memory kernel reconstruction problems in the integro-differential equation of rigid heat conductor, Math. Meth. Appl. Sci. 45 (14), 8374-8388 (2022).

13. Durdiev D.K., Zhumaev Zh.Zh. One-Dimensional Inverse Problems of Finding the Kernel of integro-differential Heat Equation in a Bounded Domain, Ukrain. Math. J. 73 (3), 1723-1740 (2022).

14. Durdiev D.K., Zhumaev Zh.Zh. Problem of Determining the Thermal Memory of a Conducting Medium, Diff. Equat. 56 (6), 785-796 (2020).

15. Luchko Y. Some uniqueness and existence results for the initial-boundary-value problems for the generalized time-fractional diffusion equation, Comput. Math. Appl. 59 (5), 1766-1772 (2010).

16. Sakamoto K., Yamamoto M. Initial value/boundary value problems for fractional diffusion-wave equations and applications to some inverse problems, J. Math. Anal. Appl. 382 (1), 426-447 (2011).

17. Goren o R., Luchko Y.F., Zabrejko P.P. On solvability of linear fractional differential equations in Banach spaces, Fract. Calc. Appl. Anal. 2, 163-176 (1999).

18. Luchko Y. Maximum principle for the generalized time-fractional diffusion equation, J. Math. Anal. and Appl. 351 (1), 218-223 (2009).

19. Kochubei A.N. Diffusion of fractional order, Differ. Uravn. 26 (4), 660-670 (1990).

20. Eidelman S.D., Kochubei A.N. Cauchy problem for fractional diffusion equations, J. Diff. Equat. 199 (2), 211-255 (2004).

21. Zhang S. Existence of Solution for a Boundary Value Problem of Fractional Order, Acta Math. Sci. 26 (2), 220-228 (2006).

22. Xiong X., Zhou Q., Hon Y.C. An inverse problem for fractional diffusion equation in 2-dimensional case: stability analysis and regularization, J. Math. Anal. and Appl. 393 (1), 185-199 (2012).

23. Xiong X., Guo H., Liu X. An inverse problem for a fractional diffusion equation, J. Comput. Appl. Math. 236 (17), 4474-4484 (2012).

24. Бондаренко А.Н., Бугуева Т.В., Иващенко Д.С. Метод интегральных преобразований в обратных задачах аномальной диффузии, Изв. вузов. Матем. (3), 3-14 (2017).

25. Durdiev D.K., Rahmonov A.A., Bozorov Z.R. A two-dimensional diffusion coefficient determination problem for the time-fractional equation, Math. Meth. Appl. Sci. 44 (13), 10753-10761 (2021).

26. Subhonova Z.A., Rahmonov A.A. Problem of Determining the Time Dependent Coefficient in the Fractional Diffusion-Wave Equation, Lobachevskii J. Math. (15), 3747-3760 (2021).

27. Durdiev D.K. Inverse coefficient problem for the time-fractional diffusion equation, Eurasian J. Math. and Computer Appl. 9 (1), 44-54 (2021).

28. Durdiev U.D. Problem of determining the reaction coefficient in a fractional diffusion equation, Diff. Equat. 57 (9), 1195-1204 (2021).

29. Miller L., Yamamoto M. Coefficient inverse problem for a fractional diffusion equation, Inverse Probl. 29 (7), 075013 (2013).