On polylinear differential realization of the determined dynamic chaos in the class of higher order equations with delay

The investigation has defined the characteristic criterion (and its modification) of solvability of the problem of differential realization of the bundle of controlled trajectory curves of determined chaotic dynamic processes in the class of bilinear non-autonomous ordinary second- and higher-order differential equations (with and without delay) in the separable Hilbert space. The problem statement under consideration belongs to the type of converse problems for the additive combination of nonstationary linear and bilinear operators of the evolution equation in the Hilbert space. The constructions of tensor products of the Hilbert spaces, structures of lattices with an orthocomplement, the theory of extension of M₂ -operators and the functional apparatus of the entropy Relay Ritz operator represent the basis of this theory. It has been shown that in the case of the finite bundle of the controlled trajectory curves the existence of the property of sub-linearity of the given operator allows one to obtain sufficient conditions of existence of such realizations. Side by side with solving the main problems, grounded are topological-group conditions of continuity of projectivization of the Relay Ritz operator with computing the fundamental group (Poincare group) of its compact image. The results obtained give incentives for the development of the quantitative theory of converse problems of higher-order multilinear evolution equations with  the operators of generalized delay describing, for example, differential modeling of nonlinear Van der Pol oscillators or Lorentz strange attractors.

1. Шустер Г. Детерминированный хаос (Мир, М., 1988).

2. Чуличков А.И. Математические методы нелинейной динамики (ФИЗМАТЛИТ, М., 2003).

3. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ (Наука, М., 1977).

4. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики, Т. 1. Функциональный анализ (Мир, М., 1977).

5. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия (Наука, М., 1986).

6. Гольдман Н.Л. Определение коэффициентов при производной по времени в квазилинейных параболических уравнениях в пространствах Гёльдера, Дифф. уравнения 48 (12), 1597-1606 (2012).

7. Rusanov V.A., Daneev A.V., Lakeyev A.V., Linke Yu.E. On the Differential Realization Theory of Nonlinear Dynamic Processes in Hilbert Space, Far East J. Math. Sci. 97 (4), 495-532 (2015).

8. Русанов В.А., Данеев А.В., Линке Ю.Э. К геометрическим основам дифференциальной реализации динамических процессов в гильбертовом пространстве, Кибернетика и системный анализ 53 (4), 71-83 (2017).

9. Русанов В.А., Лакеев А.В., Линке Ю.Э. К дифференциальной реализации автономной нелинейной системы вход-выход минимального динамического порядка в гильбертовом пространстве, Докл. РАН 451 (1), 24-27 (2013).

10. Аниконов Ю.Е., Нещадим М.В. Об аналитических методах в теории обратных задач для гиперболических уравнений, Сиб. журн. индустр. матем. 14 (1), 27-39 (2011).

11. Rusanov V.A., Banshchikov A.V., Daneev A.V., Lakeyev A.V. Maximum Entropy Principle in the Differential Second-Order Realization of a Nonstationary Bilinear System, Adv. Diff. Equat. and Control Processes 20 (2), 223-248 (2019).

12. Popkov Yu.S. Controlled Positive Dynamic Systems with an Entropy Operator: Fundamentals of the Theory and Applications, Math. 9, 1-19 (2021).

13. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями (Наука, М., 1977).

14. Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: Математические основы (Мир, М., 1978).

15. Кириллов А.А. Элементы теории представлений (Наука, М., 1978).

16. Иосида К. Функциональный анализ (Мир, М., 1967).

17. Rusanov V.A., Antonova L.V., Daneev A.V. Inverse Problem of Nonlinear Systems Analysis: A Behavioral Approach, Adv. Diff. Equat. and Control Processes 10 (2), 69-88 (2012).

18. Лакеев А.В., Линке Ю.Э., Русанов В.А. Метрические свойства оператора Релея Ритца, Изв. вузов. Матем. (9), 54-63 (2022).

19. Массера Х.Л., Шеффер Х.Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства (Мир, М., 1970).

20. Komura Y. Nonlinear Semi-groups in Hilbert Space, J. Math. Soc. Japan. 19 (4), 493-507 (1967).

21. Эдвардс Р. Функциональный анализ: Теория и приложения (Мир, М., 1969).

22. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии (Наука, М., 1989).

23. Новиков С.П., Тайманов И.А. Современные геометрические структуры и поля (МЦНМО, М., 2014).

24. Grabmeier J., Kaltofen E., Weispfenning V. Handbook in Computer Algebra. Foundations, Applications, Systems (Springer-Verlag, Berlin, 2003).

25. Косов А.А., Семёнов Э.И. О точных многомерных решениях одной нелинейной системы уравнений реакции-диффузии, Дифф. уравнения 54 (1), 108-122 (2018).

26. Brzychczy S., Poznanski R. Mathematical Neuroscience (Academic Press, New York, 2013).

27. Савельев А.В. Источники вариаций динамических свойств нервной системы на синаптическом уровне в нейрокомпьютинге, Искусственный интеллект. НАН Украины (4), 323-338 (2006).

28. Daneev A.V., Lakeyev A.V., Rusanov V.A., Plesnyov P.A. Differential Non-Autonomous Representation of the Integrative Activity of a Neural Population by a Bilinear Second-Order Model With Delay, Lect. Notes in Networks and Systems, Springer 319, 191-199 (2022).

29. Заславский Г.М. Физика хаоса в гамильтоновых системах (Ин-т комп. техн., Ижевск, 2004).

30. Данеев А.В., Лакеев А.В., Русанов В.А. К существованию вполне непрерывной дифференциальной реализации билинейной системы второго порядка, Изв. Самарск. науч. центра РАН 23 (4), 116-132 (2021).

31. Дьедонне Ж. Основы современного анализа (Мир, М., 1964).

32. Далецкий Ю.Л., Фомин С.В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах (Наука, М., 1983).

33. Ван дер Шафт А. К теории реализации нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями высшего порядка, в сб. : Теория систем. Математические методы и моделирование / Пер. с англ. сб. статей (под ред. Колмогоров А.Н., Новиков С.П.), 192-237 (Мир, М., 1989).

34. Rusanov V.A., Daneev A.V., Lakeyev A.V., Linke Yu.E. Semiadditivity of the Entropy Rayleigh Ritz Operator in the Problem of Realization an Invariant Polylinear Controller of a Nonstationary Hyperbolic System, Adv. Diff. Equat. and Control Processes 27, 181-202 (2022).

35. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения (МЦНМО, М., 2012).

36. Пуанкаре А. О науке (Наука, М., 1983).

37. Клайн М. Математика. Утрата определенности (Мир, М., 1984).

38. Ньютон И. Математические начала натуральной философии, в сб. : Собр. тр. акад. А.Н. Крылова, Т. VII (Изд. АН СССР, М.-Л., 1936).

39. Rusanov V.A., Antonova L.V., Daneev A.V., Mironov A.S. Differential Realization with a Minimum Operator Norm of a Controlled Dynamic Process, Adv. Diff. Equat. and Control Processes 11 (1), 1-40 (2013).

40. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций (Наука, М., 1966).

41. Русанов В.А., Лакеев А.В., Линке Ю.Э. К разрешимости дифференциальной реализации минимального динамического порядка семейства нелинейных процессов вход-выход в гильбертовом пространстве, Дифф. уравнения 51 (4), 524-537 (2015).

42. Жукова Н.И., Левин Г.С., Тонышева Н.С. Хаотические топологические слоения, Изв. вузов. Матем. (8), 81-86 (2022).