Однопараметрическое семейство конформных отображений прямоугольников на четырехугольники

Исследуется семейство конформных отображений $f=f(z,t)$, $f:R(t)\times[0,1]\rightarrow\Delta(t)$, $t\in[0,1]$, прямоугольников $R(t)$ на четырехугольники $\Delta(t)$. Семейство четырехугольников $\Delta(t)$ получается из некоторого начального четырехугольника $\Delta$ параллельным сдвигом одной из его сторон. При фиксированном $t$ отображение $f$ переводит прямоугольник $R(t)$ на четырехугольник $\Delta(t)$ так, что вершинам прямоугольника $R(t)$ соответствуют вершины четырехугольника $\Delta(t)$. Для семейства $f$ получено дифференциальное уравнение второго порядка. Для параметра семейства отображений $p(t)$ (модуля четырехугольника $\Delta(t)$) получено обыкновенное дифференциальное уравнение с начальным условием Коши. Для некоторых частных четырехугольников параметр $p(t)$ найден численно с помощью полученного дифференциального уравнения.

1. Ahlfors L.V. Conformal Invariants: Topics in Geometric Function Theory, V. 371 (AMS, Providence, 2010).

2. Polya G., Szeg¨o G. Isoperimetric Inequalities in Mathematical Physics, V. 27, Annals of Mathematics Studies (Princeton Univ. Press, 1951).

3. Vasil’ev A. Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings, V. 1788 (Springer Verlag, Berlin–New York, 2002).

4. Ku¨hnau R. The conformal module of quadrilaterals and of rings, V. 2 (Elsevier, Amsterdam, 2005).

5. Dubinin V.N. Condenser Capacities and Symmetrization in Geometric Function Theory (Birkh¨auser, Basel, 2014).

6. Heikkala V., Vamanamurthy M.K., Vuorinen M. Generalized elliptic integrals, Comput. Methods Funct. Theory 9 (1), 75–109 (2009).

7. Kolesnikov I.A. Interior Modulus of Polygonal Quadrilateral, Lobachevskii J. Math. 44 (4), 1358–1364 (2023).

8. Kolesnikov I.A. A one-parametric method for determining parameters in the Schwarz–Christoffel integral, Siberian Math. J. 62 (4), 638–653 (2021).

9. Dautova D., Nasyrov S., Vuorinen M. Conformal Modulus of the Exterior of Two Rectilinear Slits, Comput. Methods Funct. Theory 21 (1), 109–130 (2021).

10. Nasyrov S., Sugawa T., Vuorinen M. Moduli of quadrilaterals and quasiconformal reflection, J. Math. Anal. Appl. 524 (2) (2023).

11. Kolesnikov I.A. Schwarz–Christoffel Mapping from a Rectangle, Lobachevskii J. Math. 45 (1), 443–451 (2024).

12. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций (Наука, М., 1970).

13. Ленг С. Эллиптические функции (Наука, М., 1984).