Односторонняя задача для вырожденных эллиптических уравнений с данными в виде меры в анизотропных весовых пространствах Соболева

Доказаны некоторые свойства и леммы во взвешенных анизотропных соболевских пространствах. В качестве приложения изучено следующее некоэрцитивное вырожденное эллиптическое уравнение: $$ \begin{array}{lll} Au + H(x,u,\nabla u) = \mu & \quad \mbox{ в } \ \Omega, \\ u = 0 &\quad \mbox{ на }\ \partial \Omega, \end{array}$$ где $\mu$ принадлежит $L^{1}(\Omega) + W^{-1,\vec{p'}}(\Omega,\vec{\omega}^{*})$. Установлено существование решений для односторонней задачи, связанной с сильно нелинейным и некоэрцитивным эллиптическим уравнением в анизотропных взвешенных соболевских пространствах, получены некоторые результаты о регулярности решений.

1. Boccardo L., Murat F., Puel J.P. Existence of Bounded Solutions for Non Linear Elliptic Unilateral Problems, Ann. Matem. Pura Appl. 152, 183–196 (1988).

2. Akdim Y., Azroul E., Benkirane A. Existence of Solution for Quasilinear Degenerated Elliptic Unilateral Problems, Ann. Math. Blaise Pascal 10 (1), 1–20 (2003).

3. Aharouch L., Akdim Y. Strongly Nonlinear Elliptic Unilateral Problems without Sign Condition and L1 Data, J. Convex Anal. 13 (1), 135–149 (2006).

4. Bendahmane M., Chrif M., El Manouni S. Elliptic equations in weighted Sobolev spaces of infinite order with L1 data, Math. Methods Appl. Sci. 33 (1), 49–56 (2010).

5. Akdim Y., Allalou C., Salmani A. Existence of Solutions for Some Nonlinear Elliptic Anisotropic Unilateral Problems with Lower Order Terms, Moroccan J. of Pure and Appl. Anal. (MJPAA) 4 (2), 171–188 (2018).

6. Zheng J., Feng B., Zhang Z. The obstacle problem for nonlinear degenerate equations with L1 data, arXiv:1504.03793v1 (2015).

7. Azroul E., Bouziani M., Barbara A. Existence of entropy solutions for anisotropic quasilinear degenerated elliptic problems with Hardy potential, SeMA J. 78 (4), 475–499 (2021).

8. Feo F., Paderni G. Anisotropic logarithmic Sobolev inequality with a Gaussian weight and its applications, Electron. J. Differ. Equat. 2019 (89), 1–15 (2019).

9. Muckenhoupt B. Weighted norm inequalities for the Hardy maximal function, Trans. Amer. Math. Soc. 165, 207–226 (1972).

10. Azraibi O., Derham A., El Haji B., Mabdaoui M. On some anisotropic unilateral elliptic problems with measure data, Annals of Mathematics and Computer Science 23, 74–94 (2024).

11. Bouzelmate A., El Haji B., Lamtarah A. Nonlinear elliptic unilateral problems with measure data in the anisotropic Sobolev space, Nonauton. Dynam. Syst. 11 (1), 1–18 (2024).

12. Ковалевский А.А. К L1-теории вырождающихся анизотропных эллиптических вариационных неравенств, Тр. ИММ УрО РАН 21 (1), 137–152 (2015).

13. Kovalevsky A.A. On a sharp condition of limit summability of solutions of nonlinear elliptic equations with L1-right-hand sides, Ukr. Math. Bull. 2 (4), 507–545 (2005).

14. Ковалевский А.А., Горбань Ю.С. О T -решениях вырождающихся анизотропных эллиптических вариационных неравенств с L1-данными, Изв. РАН. Сер. матем. 75 (1), 101–160 (2011).

15. Kovalevsky A.A., Gorban Y.S. Degenerate anisotropic variational inequalities with L1-data, C.R. Math. Acad. Sci. Paris 345 (8), 441–444 (2007).

16. Kufner A., Opic B. How to define reasonably weighted Sobolev spaces, Comm. Math. Univ. Carolinae 25 (3), 537–554 (1984).

17. Zineddaine G., Sabiry A., Melliani S., Kassidi A. Existence results in weighted Sobolev space for quasilinear degenerate p(z)-elliptic problems with a Hardy potential, Math. Model. Anal. 29 (3), 460–479 (2024).

18. Dr´abek P., Kufner A., Nicolosi F. Quasilinear elliptic equations with degenerations and singularities, De Gruyter Ser. Nonlinear Anal. Appl. (De Gruyter, New York, 1997).

19. B´enilan P., Boccardo L., Gallou¨et T., Gariepy R., Pierre M., V´azquez J.L. An L1 theory of existence and uniqueness of solutions of nonlinear elliptic equations, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. Ser. 4, 22 (2), 241–273 (1995).

20. Antontsev S., Chipot M. Anisotropic equations: uniqueness and existence results, Differ. Integral Equat. 21, 401–419 (2008).

21. Di Nardo R., Feo F. Existence and uniqueness for nonlinear anisotropic elliptic equations, Arch. Math. 102 (2), 141–153 (2014).

22. Di Nardo R., Feo F., Guib´e O. Uniqueness result for nonlinear anisotropic elliptic equations, Adv. Diff. Equat. 18 (5–6), 433–458 (2013).

23. Chua S.-K., Rodney S., Wheeden R.L. A compact embedding theorem for generalized Sobolev spaces, Pacific J. Math. 265 (1), 17–57 (2013).

24. Akdim Y., Azroul E. Pseudo-monotonicity and degenerated elliptic operator of second order, Electron. J. Diff. (9), 9–24 (2002).

25. Hewitt E., Stromberg K. Real and abstract analysis (Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1965).

26. Lions J.L. Quelques m´ethodes de r´esolution des probl`emes aux limites non lin´eaires (Dunod et Gauthiers– Villars, Paris, 1969).