Об одном приближенном методе решения характеристического сингулярного интегрального уравнения

Многие задачи науки и техники естественным образом сводятся к сингулярным интегральным уравнениям. Более того, плоские задачи сводятся к одномерным сингулярным интегральным уравнениям. В настоящей работе разрабатывается оптимальный метод квадратур приближенного решения одномерных сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши. Здесь мы занимаемся поиском аналитического вида коэффициентов оптимальной квадратурной формулы. Применим эти коэффициенты к приближенному решению сингулярного интегрального уравнения Фредгольма первого рода. Таким образом, показана возможность решения сингулярных интегральных уравнений с более высокой точностью с использованием оптимальной квадратурной формулы.

1. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях (Наука, М., 1985).

2. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент (Янус, М., 1995).

3. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов (Наука, М., 1967).

4. Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы (Наука, М., 1981).

5. Салихов Г.Н. Кубатурные формулы для многомерных сфер (Фан, Т., 1985).

6. Stround A.H. Approximate calculation of multiple integrals (Englewood cliffs, NY., 1971).

7. Cools R., Kim K.J. "Rotation invariant cubature formulas over the n-dimensional unit cube", J. Comput. Appl. Math. 132, 15-32 (2001).

8. Бахвалов Н.С. Численные методы (Лаборатория базовых знаний, М., 2001).

9. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы (Наука, М., 1975).

10. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло (Наука, М., 1973).

11. Михайлов Г.А. Некоторые вопросы теории методов Монте-Карло (Наука, Н., 1974).

12. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе (Физматгиз, М., 1963).

13. Ченцов Н.Н. "О модифицированном рекуррентном алгоритме Коробова построения равномерной сетки в многомерном кубе", Вопр. вычисл. и прикл. матем. 38, 127-133 (1970).

14. Жилейкин Я.М. "О квадратурных формулах на классах функций", ЖВМиМФ 3, 507-516 (1968).

15. Шарыгин И.Ф. "О применении теоретико-числовых методов интегрирования в случае непериодических функций", ДАН СССР 132, 71-74 (1960).

16. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул (Наука, М., 1974).

17. Sard A. "Integral representations of remarkable", Duke Math. J. 15, 333-345 (1948).

18. Габдулхаев Б.Г. "Сплайн-методы решения одного класса сингулярных интегро-дифференциальных уравнений", Изв. вузов. Матем. (6), 14-24 (1975).

19. Габдулхаев Б.Г. "Об оптимальных квадратурных формулах для сингулярных интегралов", Изв. вузов. Матем. (3), 24-39 (1978).

20. Даутов Р.З. "Точная оценка погрешности наилучшего приближения алгебраическими полиномами в весовом L2(−1,1)", Изв. вузов. Матем. (5), 61-63 (2013).

21. Даутов Р.З. "Прямые и обратные теоремы аппроксимации функций алгебраическими полиномами и сплайнами в нормах пространства Соболева", Изв. вузов. Матем. (6), 79-86 (2022).

22. Michlin S.G., Prö{ß}dorf S. Singuläre Integraloperatoren (Akademie-Verlag, Berlin, 1980).

23. Иванов В.В. "Методы приближенного решения сингулярных интегральных уравнений", Итоги науки и техн. Матем. ан., 125-177 (1965).

24. Габдулхаев Б.Г. "Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений", Итоги науки и техн. Матем. ан. 18, 251-307 (1980).

25. Лифанов И.К., Тыртышников Е.Е. "Теплицевы матрицы и интегральные уравнения", Вычисл. процессы и системы 7, 94-278 (1990).

26. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений (Наук. думка, Киев, 1968).

27. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач (Изд-во Казанск. ун-та, Казань, 1980).

28. Габдулхаев Б.Г. "Проекционные методы решения сингулярных интегральных уравнений", Изв. вузов. Матем. (7), 12-24 (2004).

29. Габдулхаев Б.Г., Тихонов И.Н. "Квадратурно-кубатурный метод решения нелинейных бисингулярных интегральных уравнений с монотонными операторами", Изв. вузов. Матем. (6), 14-24 (2006).

30. Габдулхаев Б.Г. "О непрерывности и компактности сингулярных интегральных операторов", Изв. вузов. Матем. (8), 3-10 (2009).

31. Qinghua W., Mengjun S. "On the convergence rate of collocation methods for Volterra integral equations with weakly singular oscillatory trigonometric kernels", Results Appl. Math. 17, 100352 (2023).

32. Akhmedov D., Shadimetov Kh. "Optimal quadrature formulas with derivative for Hadamard type singular integrals", AIP Conf. Proc. 2365, 020020 (2021).

33. Akhmedov D. "Approximate Solution of a Class of Singular Integral Equations of the First Kind", AIP Conf. Proc. 3004, 060033 (2024).

34. Nuraliev F. "Cubature formulas of Hermite type in the space of periodic functions of two variables", AIP Conf. Proc. 2365, 020031 (2021).

35. Shadimetov Kh. and Boltaev A. "An exponential-trigonometric optimal interpolation formula", Lobachevskii J. Math. 44, 4379-4392 (2023).

36. Shadimetov Kh.M., Hayotov A.R. "Optimal quadrature formulas with positive coefficients in L(m)2 space", J. Comput. Appl. Math. 235, 1114-1128 (2011).

37. Шадиметов Х.М. "Дискретный аналог оператора d2m/dx2m и его построение", Вопр. вычисл. и прикл. матем. 79, 22-35 (1985).