izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2024-7-77-84izvuzmath-94Research ArticleСтатьиСуществование положительных решений симметричных вариационных задач на собственные значенияExistence of positive solutions of symmetric variational eigenvalue problemsСоловьёвИ. С.Solov’evP. S.

Соловьёв Павел Сергеевич.

ул. Кремлевская, д. 18, Казань, 420008

Pavel S. Solov’ev.

18 Kremlevskaya str., Kazan, 420008

pavel.solovev.kpfu@mail.ruКазанский федеральный университетРоссияKazan Federal UniversityRussian Federation202421082024077784Copyright © Соловьёв И.С., 20242024Соловьёв И.С.Solov’ev P.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/94

Исследуется симметричная вариационная задача на собственные значения в гильбертовом пространстве с конусом. Предложены и обоснованы новые достаточные условия на билинейные формы, гильбертово пространство и конус вариационной задачи, гарантирующие существование единственного нормированного положительного собственного элемента, соответствующего положительному простому минимальному собственному значению. Полученные абстрактные результаты иллюстрируются на примере обобщенной задачи на собственные значения для самосопряженного эллиптического дифференциального оператора второго порядка.

A symmetric variational eigenvalue problem in the Hilbert space with a cone is investigated. New sufficient conditions on the bilinear forms, the Hilbert space, and the cone of the variational problem guaranteeing the existence of a unique normalized positive eigenelement corresponding to a positive simple minimal eigenvalue are proposed and justified. The obtained abstract results are illustrated by the example of the generalized eigenvalue problem for the second order self-adjoint elliptic differential operator.

собственное значениесобственный элементсимметричная задача на собственные значениягильбертово пространствоконуссамосопряженный эллиптический дифференциальный операторпринцип максимумаположительная собственная функцияeigenvalueeigenelementsymmetric eigenvalue problemHilbert spaceconeselfadjoint elliptic differential operatormaximum principlepositive eigenfunctionРабота выполнена за счет средств Программы стратегического академического лидерства Казанского (Приволжского) федерального университета («ПРИОРИТЕТ-2030»).ReferencesPerron О. Grundlagen fur eine Theorie des Jacobischen Kettenbriichalgorithmus, Math. Annalen. 64 (1), 1-76 (1907).Perron О. Grundlagen fur eine Theorie des Jacobischen Kettenbriichalgorithmus, Math. Annalen. 64 (1), 1-76 (1907).Frobenius G. Uber Matrizen aus nicht negative». Elementen, Konig. Akad. Wiss. Berlin. 23, 456-477 (1912).Frobenius G. Uber Matrizen aus nicht negative». Elementen, Konig. Akad. Wiss. Berlin. 23, 456-477 (1912).Jentzsch R. Uber Integralgleichungen mit positivem Kern, J. Reine Angew. Math. 141, 235-244 (1912).Jentzsch R. Uber Integralgleichungen mit positivem Kern, J. Reine Angew. Math. 141, 235-244 (1912).Рутман M.A. О вполне непрерывных линейных операторах, оставляющих инвариантным некоторый конус, Матем. сб. 50 (1), 77-96 (1940).Рутман M.A. О вполне непрерывных линейных операторах, оставляющих инвариантным некоторый конус, Матем. сб. 50 (1), 77-96 (1940).Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха, УМН 3 (1(23)), 3-95 (1948).Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха, УМН 3 (1(23)), 3-95 (1948).Вулих В.З. Введение в функциональный анализ (Наука, М., 1967).Вулих В.З. Введение в функциональный анализ (Наука, М., 1967).Gazzola F., Grunau H.-С., Sweers G. Polyharmonic boundary value problems. Positivity preserving and nonlinear higher order elliptic equations in bounded domains (Springer, Berlin, 2010).Gazzola F., Grunau H.-С., Sweers G. Polyharmonic boundary value problems. Positivity preserving and nonlinear higher order elliptic equations in bounded domains (Springer, Berlin, 2010).Красносельский M.A., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.В., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений (Наука, М., 1969).Красносельский M.A., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.В., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений (Наука, М., 1969).Вулих В.З. Введение в теорию конусов в нормированных пространствах (Калинин, гос. ун-т, Калинин, 1977).Вулих В.З. Введение в теорию конусов в нормированных пространствах (Калинин, гос. ун-т, Калинин, 1977).Batkai A., Fijavz М.К., Rhandi A. Positive operator semigroups. From finite to infinite dimensions (Springer, Berlin, 2017).Batkai A., Fijavz М.К., Rhandi A. Positive operator semigroups. From finite to infinite dimensions (Springer, Berlin, 2017).Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных (Высш, шк., М., 1977).Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных (Высш, шк., М., 1977).Adams R.A. Sobolev spaces (Acad. Press, New York, 1975).Adams R.A. Sobolev spaces (Acad. Press, New York, 1975).Гилбарг Д., Трудингер H. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка (Наука, М., 1989).Гилбарг Д., Трудингер H. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка (Наука, М., 1989).Coffman C.V., Duffin R.J., Mizel V.J. Nonuniformly elliptic equations: positivity of weak solutions, Bull. Amer. Math. Soc. 79 (2), 496-499 (1973).Coffman C.V., Duffin R.J., Mizel V.J. Nonuniformly elliptic equations: positivity of weak solutions, Bull. Amer. Math. Soc. 79 (2), 496-499 (1973).Coffman C.V., Duffin R.J., Mizel V.J. Positivity of weak solutions of non-uniformly elliptic equations, Ann. Mat. Рига Appl. 104, 209-238 (1975).Coffman C.V., Duffin R.J., Mizel V.J. Positivity of weak solutions of non-uniformly elliptic equations, Ann. Mat. Рига Appl. 104, 209-238 (1975).Coffman C.V., Marcus M.M., Mizel V.J. On Green’s function and eigenvalues of nonuniformly elliptic boundary value problems, Math. Z. 182, 321-326 (1983).Coffman C.V., Marcus M.M., Mizel V.J. On Green’s function and eigenvalues of nonuniformly elliptic boundary value problems, Math. Z. 182, 321-326 (1983).Trudinger N.S. On the first eigenvalue of non-uniformly elliptic boundary value problems, Math. Z. 174, 227-232 (1980).Trudinger N.S. On the first eigenvalue of non-uniformly elliptic boundary value problems, Math. Z. 174, 227-232 (1980).Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения (Мир, М., 1983).Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения (Мир, М., 1983).Вайокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. Приложения к задачам со свободной границей (Наука, М., 1988).Вайокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. Приложения к задачам со свободной границей (Наука, М., 1988).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.