izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2024-7-47-62izvuzmath-92Research ArticleСтатьиИсследование размерности спектральной проекции самосопряженного квазидифференциального оператора второго порядкаInvestigation of the dimension of the spectral projection of a self-adjoint second order quasidifferential operatorВатолкинМ. Ю.VatolkinM. Yu.

Ватолкин Михаил Юрьевич.

ул. Студенческая, д. 7, Ижевск, 426069

Mikhail Yu. Vatolkin.

7 Studencheskaya str., Izhevsk, 426069

vmyu6886@gmail.comИжевский государственный технический университет им. М.Т. КалашниковаРоссияKalashnikov Izhevsk State Technical UniversityRussian Federation202421082024074762Copyright © Ватолкин М.Ю., 20242024Ватолкин М.Ю.Vatolkin M.Y.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/92

Пусть λ1 и λ2 вещественны, λ1 < λ2, функции ψ_( λi, t) являются решениями квазидифференциальных уравнений второго порядка Lψ_ = λi P0ψ_, i = 1, 2, удовлетворяющими однородному краевому условию в точке а. Найдено выражение числа собственных значений оператора L, принадлежащих интервалу (λ1, λ2) (или размерность его спектральной проекции относительно интервала (λ1, λ2), в терминах числа нулей вронскиана, составленного для функций ψ_(λ1,t) и ψ_(λ2,t).

Let λ1 and λ2 be real, λ1 < λ2, functions ψ_( λi, t) be solutions to the second order quasidifferential equations Lψ_ = λi P0ψ_, i = 1, 2, satisfying a homogeneous boundary condition at point а. We express the number of eigenvalues of operator L, belonging to the interval (λ1, λ2) (or the dimension of its spectral projection relative to the interval (λ1, λ2), in terms of the number of zeros of the Vronskian composed for the functions ψ_(λ1,t) and ψ_(λ2,t).

квазидифференциальный операторспектральная проекциясамосопряженное квазидифференциальное выражениеquasidifferential operatorspectral projectionself-adjoint quasidifferential expressionReferencesЛевитан B.M., Саргсян И.С. Некоторые вопросы, теории Штурма-Лиувилля, УМН 15 (1(91)), 3-98 (1960).Левитан B.M., Саргсян И.С. Некоторые вопросы, теории Штурма-Лиувилля, УМН 15 (1(91)), 3-98 (1960).Левитан В.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию (Наука, М., 1970).Левитан В.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию (Наука, М., 1970).Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения (Наук, думка, Киев, 1977).Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения (Наук, думка, Киев, 1977).Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значений (самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы) (Наука, М., 1979).Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значений (самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы) (Наука, М., 1979).Садовничий В.А. Теория операторов (Изд-во МГУ, М., 1986).Садовничий В.А. Теория операторов (Изд-во МГУ, М., 1986).Левитан В.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака (Наука, М., 1988).Левитан В.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака (Наука, М., 1988).Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом, Изв. РАН, Сер. матем. 64 (4), 47-108 (2000).Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом, Изв. РАН, Сер. матем. 64 (4), 47-108 (2000).Савчук А.М., Шкаликов А.А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами, Матем. заметки 66 (6), 897-912 (1999).Савчук А.М., Шкаликов А.А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами, Матем. заметки 66 (6), 897-912 (1999).Савчук А.М. О собственных значениях и собственных функциях оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом, Матем. заметки 69 (2), 277-285 (2001).Савчук А.М. О собственных значениях и собственных функциях оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом, Матем. заметки 69 (2), 277-285 (2001).Савчук А.М., Шкаликов А.А. Операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями, Тр. Московск. матем. об-ва 64, 159-212 (2003).Савчук А.М., Шкаликов А.А. Операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями, Тр. Московск. матем. об-ва 64, 159-212 (2003).Конечная И.И., Сафонова Т.А., Тагирова Р.Н. Асимптотика собственных значений и регуляризован-ный след первого порядка оператора Штурма-Лиувилля с 5-потенциалом, Вести. САФУ. Сер. Естеств. науки (1), 104-113 (2016).Конечная И.И., Сафонова Т.А., Тагирова Р.Н. Асимптотика собственных значений и регуляризован-ный след первого порядка оператора Штурма-Лиувилля с 5-потенциалом, Вести. САФУ. Сер. Естеств. науки (1), 104-113 (2016).Сафонова Т.А., Рябченко С.В. О собственных значениях оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом, Вести. САФУ. Сер. Естеств. науки (2), 115-125 (2016).Сафонова Т.А., Рябченко С.В. О собственных значениях оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом, Вести. САФУ. Сер. Естеств. науки (2), 115-125 (2016).Покорный Ю.В., Прядиев В.Л. Некоторые вопросы качественной теории Штурма-Лиувилля на пространственной сети, УМН 59 (3 (357)), 115-150 (2004).Покорный Ю.В., Прядиев В.Л. Некоторые вопросы качественной теории Штурма-Лиувилля на пространственной сети, УМН 59 (3 (357)), 115-150 (2004).Покорный Ю.В., Зверева М.В., Ищенко А.С., Шабров С.А. О нерегулярном расширении осцилляционной теории спектральной задачи Штурма-Лиувилля, Матем. заметки 82 (4), 578-582 (2007).Покорный Ю.В., Зверева М.В., Ищенко А.С., Шабров С.А. О нерегулярном расширении осцилляционной теории спектральной задачи Штурма-Лиувилля, Матем. заметки 82 (4), 578-582 (2007).Покорный Ю.В., Зверева М.В., Шабров С.А. Осцилляционная теория Штурма-Лиувилля для импульсных задач, УМН 63 (1 (379)), 111-154 (2008).Покорный Ю.В., Зверева М.В., Шабров С.А. Осцилляционная теория Штурма-Лиувилля для импульсных задач, УМН 63 (1 (379)), 111-154 (2008).Митрохин С.И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные, суммируемые коэффициенты (ИНТУИТ, М., 2009).Митрохин С.И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные, суммируемые коэффициенты (ИНТУИТ, М., 2009).Митрохин С.И. О спектральных свойствах многоточечной краевой задачи для дифференциального оператора нечетного порядка с суммируемым потенциалом, Arctic Environmental Research 17 (4), 376-392 (2017).Митрохин С.И. О спектральных свойствах многоточечной краевой задачи для дифференциального оператора нечетного порядка с суммируемым потенциалом, Arctic Environmental Research 17 (4), 376-392 (2017).Митрохин С.И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора со знакопеременной весовой функцией, Изв. вузов. Матем. (6), 31-47 (2018).Митрохин С.И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора со знакопеременной весовой функцией, Изв. вузов. Матем. (6), 31-47 (2018).Митрохин С.И. Об асимптотике собственных значений дифференциального оператора четвертого порядка со знакопеременной весовой функцией, Вести. Московск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. (6), 46-58 (2018).Митрохин С.И. Об асимптотике собственных значений дифференциального оператора четвертого порядка со знакопеременной весовой функцией, Вести. Московск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. (6), 46-58 (2018).Митрохин С.И. Асимптотика спектра дифференциального оператора четного порядка с разрывной весовой функцией, Жури. СВМО 22 (1), 48-70 (2020).Митрохин С.И. Асимптотика спектра дифференциального оператора четного порядка с разрывной весовой функцией, Жури. СВМО 22 (1), 48-70 (2020).Дерр В.Я. Неосцилляция решений линейного квазидифференциального уравнения, Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ (1 (16)), 3-105 (1999).Дерр В.Я. Неосцилляция решений линейного квазидифференциального уравнения, Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ (1 (16)), 3-105 (1999).Дерр В.Я. Об адекватном описании сопряженного оператора, Вести. Удмуртск. ун-та. Матем. Механ. Компьют. науки (3), 43-63 (2011).Дерр В.Я. Об адекватном описании сопряженного оператора, Вести. Удмуртск. ун-та. Матем. Механ. Компьют. науки (3), 43-63 (2011).Шин Д.Ю. О решениях линейного квазидифференциального уравнения n-го порядка, Матем. сб. 7 (49) (3), 479-532 (1940).Шин Д.Ю. О решениях линейного квазидифференциального уравнения n-го порядка, Матем. сб. 7 (49) (3), 479-532 (1940).Шин Д.Ю. О квазидифференциальных операторах в гильбертовом пространстве, Матем. сб. 13 (55) (1), 39-70 (1943).Шин Д.Ю. О квазидифференциальных операторах в гильбертовом пространстве, Матем. сб. 13 (55) (1), 39-70 (1943).Everitt W.N., Marcus L. Boundary value problems and symplectic algebra for ordinary differential and quasidifferential operators, Amer. Math. Soc. 61 (1999).Everitt W.N., Marcus L. Boundary value problems and symplectic algebra for ordinary differential and quasidifferential operators, Amer. Math. Soc. 61 (1999).Eckhardt J., Gestezy F., Nichols R., Teschl G. Weyl-Titchmarsh theory for Sturm-Liuville operators with distributional potentials, Opuscula Math. 33 (3), 467-563 (2013).Eckhardt J., Gestezy F., Nichols R., Teschl G. Weyl-Titchmarsh theory for Sturm-Liuville operators with distributional potentials, Opuscula Math. 33 (3), 467-563 (2013).Everitt W.N., Race D. The regular representation of singular second-order differential expressions using quasi-derivatives, Proc. London Math. Soc. 65 (2), 383-404 (1992).Everitt W.N., Race D. The regular representation of singular second-order differential expressions using quasi-derivatives, Proc. London Math. Soc. 65 (2), 383-404 (1992).Xiao xia Lv, Ji-jun Ao, Zettl A. Dependence of eigenvalues of fourth-order differential equations with discontinuous boundary conditions on the problem, J. Math. Anal. Appl. 456 (1), 671-685 (2017).Xiao xia Lv, Ji-jun Ao, Zettl A. Dependence of eigenvalues of fourth-order differential equations with discontinuous boundary conditions on the problem, J. Math. Anal. Appl. 456 (1), 671-685 (2017).Qinglan Bao, Jiong Sun, Xiaoling Hao, Zettl A. Characterization of self-adjoint domains for regular even order C-symmetric differential operators, Electronic J. Qual. Theory Diff. Equat. (62), 1-17 (2019).Qinglan Bao, Jiong Sun, Xiaoling Hao, Zettl A. Characterization of self-adjoint domains for regular even order C-symmetric differential operators, Electronic J. Qual. Theory Diff. Equat. (62), 1-17 (2019).Zettl A. Sturm-Liouville Theory, Amer. Math. Soc. (2005).Zettl A. Sturm-Liouville Theory, Amer. Math. Soc. (2005).Zettl A. Recent Developments in Sturm-Liouville Theory (De Gruyter, Berlin, Boston, 2021).Zettl A. Recent Developments in Sturm-Liouville Theory (De Gruyter, Berlin, Boston, 2021).Jianfang Qin, Kun Li, Zhaowen Zheng, Jinming Cai Dependence of eigenvalues of discontinuous fourth-order differential operators with eigenparameter dependent boundary conditions, J. Nonlinear Math. Phys. 29 (4), 776-793 (2022).Jianfang Qin, Kun Li, Zhaowen Zheng, Jinming Cai Dependence of eigenvalues of discontinuous fourth-order differential operators with eigenparameter dependent boundary conditions, J. Nonlinear Math. Phys. 29 (4), 776-793 (2022).Владимиров А. А. К вопросу об осцилляционных свойствах положительных дифференциальных операторов с сингулярными коэффициентами, Матем. заметки 100 (6), 800-806 (2016).Владимиров А. А. К вопросу об осцилляционных свойствах положительных дифференциальных операторов с сингулярными коэффициентами, Матем. заметки 100 (6), 800-806 (2016).Владимиров А.А. О мажорантах собственных значений задач Штурма-Лиувилля с потенциалами из шаров весовых пространств, Матем. сб. 208 (9), 42-55 (2017).Владимиров А.А. О мажорантах собственных значений задач Штурма-Лиувилля с потенциалами из шаров весовых пространств, Матем. сб. 208 (9), 42-55 (2017).Владимиров А. А. Некоторые вопросы теории обыкновенных дифференциальных операторов в тройках пространств Соболева. Диес. . . . д-ра физ.-матем. наук (Владимир, 2018).Владимиров А. А. Некоторые вопросы теории обыкновенных дифференциальных операторов в тройках пространств Соболева. Диес. . . . д-ра физ.-матем. наук (Владимир, 2018).Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы (Наука, М., 1969).Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы (Наука, М., 1969).Gesztesy F., Simon В., Teschl G. Zeros of the Wronskian and renormalized oscillation theory, Amer. Math. Soc. 118, 571-594 (1996).Gesztesy F., Simon В., Teschl G. Zeros of the Wronskian and renormalized oscillation theory, Amer. Math. Soc. 118, 571-594 (1996).Покорный Ю.В. О спектре интерполяционной краевой задачи, УМН 32 (6), 263-264 (1977).Покорный Ю.В. О спектре интерполяционной краевой задачи, УМН 32 (6), 263-264 (1977).Покорный Ю.В. О неклассической задаче Валле Пуссена, Дифференц. уравнения 14 (6), 1018-1027 (1978).Покорный Ю.В. О неклассической задаче Валле Пуссена, Дифференц. уравнения 14 (6), 1018-1027 (1978).Покорный Ю.В. О переопределенной задаче Валле Пуссена, Дифференц. уравнения 15 (4), 761 (1979).Покорный Ю.В. О переопределенной задаче Валле Пуссена, Дифференц. уравнения 15 (4), 761 (1979).Покорный Ю.В., Лазарев К.П. Некоторые осцилляционные теоремы для многоточечных задач, Дифференц. уравнения 23 (4), 658-670 (1987).Покорный Ю.В., Лазарев К.П. Некоторые осцилляционные теоремы для многоточечных задач, Дифференц. уравнения 23 (4), 658-670 (1987).Воровских А.В., Покорный Ю.В. Об осцилляционности спектра задач на некомпактном интервале, Пробл. современ. теории периодич. движений (9), 21-30 (1988).Воровских А.В., Покорный Ю.В. Об осцилляционности спектра задач на некомпактном интервале, Пробл. современ. теории периодич. движений (9), 21-30 (1988).Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем (Гостехиздат, М.-Л., 1950).Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем (Гостехиздат, М.-Л., 1950).Левин А.Ю., Степанов Г.Д. Одномерные краевые задачи с операторами, не понижающими числа перемен знака. I, Сиб. матем. журн. 17 (3), 606-625 (1976).Левин А.Ю., Степанов Г.Д. Одномерные краевые задачи с операторами, не понижающими числа перемен знака. I, Сиб. матем. журн. 17 (3), 606-625 (1976).Левин А.Ю., Степанов Г.Д. Одномерные краевые задачи с операторами, не понижающими числа перемен знака. II, Сиб. матем. журн. 17 (4), 813-830 (1976).Левин А.Ю., Степанов Г.Д. Одномерные краевые задачи с операторами, не понижающими числа перемен знака. II, Сиб. матем. журн. 17 (4), 813-830 (1976).Воровских А.В. Краевые задачи с особенностями. Дисс. . . . канд. физ.-матем. наук, Дифференц. уравнения (ВГУ, Воронеж, 1990).Воровских А.В. Краевые задачи с особенностями. Дисс. . . . канд. физ.-матем. наук, Дифференц. уравнения (ВГУ, Воронеж, 1990).Воровских А.В., Покорный Ю.В. Системы Чебышева-Хаара в теории разрывных ядер Келлога, УМН 49 (3(297)), 3-42 (1994).Воровских А.В., Покорный Ю.В. Системы Чебышева-Хаара в теории разрывных ядер Келлога, УМН 49 (3(297)), 3-42 (1994).Дерр В.Я. О спектре некоторых многоточечных задач, Удм. гос. ун-т, Устин, мех. ин-т. Дсп. в ВИНИТИ 23.01.87, № 533-В87 (Устинов, 1987).Дерр В.Я. О спектре некоторых многоточечных задач, Удм. гос. ун-т, Устин, мех. ин-т. Дсп. в ВИНИТИ 23.01.87, № 533-В87 (Устинов, 1987).Дерр В.Я. К обобщенной задаче Валле Пуссена, Дифференц. уравнения 23 (11), 1861-1872 (1987).Дерр В.Я. К обобщенной задаче Валле Пуссена, Дифференц. уравнения 23 (11), 1861-1872 (1987).Дерр В.Я. О применении квазидифференциальных уравнений в теории линейных многоточечных краевых задач. Дисс. . . . д-ра физ.-матем. наук (Свердловск, 1990).Дерр В.Я. О применении квазидифференциальных уравнений в теории линейных многоточечных краевых задач. Дисс. . . . д-ра физ.-матем. наук (Свердловск, 1990).Ватолкин М.Ю., Дерр В.Я. О представлении решений квазидифференциального уравнения, Изв. вузов. Матем. (10), 27-34 (1995).Ватолкин М.Ю., Дерр В.Я. О представлении решений квазидифференциального уравнения, Изв. вузов. Матем. (10), 27-34 (1995).Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений (Физматгиз, М., 1959).Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений (Физматгиз, М., 1959).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.