izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2024-7-9-23izvuzmath-89Research ArticleСтатьиСущественно квазиинъективные модули и их прямые суммыEssentially quasi-injective modules and their direct sumsАбызовА. Н.AbyzovA. N.

Абызов Адель Наилевич.

ул. Кремлевская, д. 18, Казань, 420008

Adel N. Abyzov.

18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008

aabyzov@ksu.ruДатБуй ТиенDatBui Tien

ул. Кремлевская, д. 18, Казань, 420008

18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008

btdat@ctuet.edu.vnКазанский федеральный университетРоссияKazan Federal UniversityRussian Federation20242108202407923Copyright © Абызов А.Н., Дат Б.Т., 20242024Абызов А.Н., Дат Б.Т.Abyzov A.N., Dat B.T.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/89

Изучены условия, при которых произвольная прямая сумма существенно (квази) инъективных модулей является существенно (квази) инъективным модулем. Получено описание существенно квазиинъективных абелевых групп.

Conditions are studied under which an arbitrary direct sum of essentially (quasi-) injective modules is an essentially (quasi-) injective module. A description of essentially quasi-injective Abelian groups is obtained.

существенно квазиинъективный модульсущественно эндоморфизм-продолжаемый модульADS-модульсущественно нетеров модульessentially quasi-injective moduleessentially endomorphism-extendable moduleADS-moduleessentially Noetherian moduleРабота Абызова А.Н. выполнена при финансовой поддержке РНФ и Кабинета Министров Республики Татарстан в рамках научного проекта № 23-21-10086.ReferencesSrivastava A.K., Tuganbaev A.A., Asensio P.A.G. Invariance of Modules under Automorphisms of their Envelopes and Covers (Cambridge Univ. Press, 2021).Srivastava A.K., Tuganbaev A.A., Asensio P.A.G. Invariance of Modules under Automorphisms of their Envelopes and Covers (Cambridge Univ. Press, 2021).Tuganbaev A.A. Arithmetical Rings and Endomorphisms (Walter de Gruyter GmbH, Berlin-Boston, 2019).Tuganbaev A.A. Arithmetical Rings and Endomorphisms (Walter de Gruyter GmbH, Berlin-Boston, 2019).Абызов А.Н., Куинь Ч.К., Туганбаев А.А. Модули, инвариантные относительно автоморфизмов и идемпотентных эндоморфизмов своих оболочек и накрытий, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. матем. и ее прил. Темат. обз. 159, 3–45 (2019).Абызов А.Н., Куинь Ч.К., Туганбаев А.А. Модули, инвариантные относительно автоморфизмов и идемпотентных эндоморфизмов своих оболочек и накрытий, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. матем. и ее прил. Темат. обз. 159, 3–45 (2019).Туганбаев А.А. Автоморфизм-продолжаемые и эндоморфизм-продолжаемые модули, Фундамент. и прикл. матем. 21 (4), 175–248 (2016).Туганбаев А.А. Автоморфизм-продолжаемые и эндоморфизм-продолжаемые модули, Фундамент. и прикл. матем. 21 (4), 175–248 (2016).Tuganbaev A.A. Extending and Lifting of Endomorphisms and Automorphisms of Modules over Non-Primitive HNP Rings, Lobachevskii J. Math. 42 (4), 767–775 (2021).Tuganbaev A.A. Extending and Lifting of Endomorphisms and Automorphisms of Modules over Non-Primitive HNP Rings, Lobachevskii J. Math. 42 (4), 767–775 (2021).Johnson R.E., Wong E.T. Quasi-injective modules and irreducible rings, J. London Math. Soc. 36 (1), 260–268 (1961).Johnson R.E., Wong E.T. Quasi-injective modules and irreducible rings, J. London Math. Soc. 36 (1), 260–268 (1961).Килп М.А. Квазиинъективые абелевы группы, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. 3, 3–4 (1967).Килп М.А. Квазиинъективые абелевы группы, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. 3, 3–4 (1967).Singh S. Quasi-injective and quasi-projective modules over hereditary noetherian prime rings, Can. J. Math. 26 (5), 1173–1185 (1974).Singh S. Quasi-injective and quasi-projective modules over hereditary noetherian prime rings, Can. J. Math. 26 (5), 1173–1185 (1974).Dickson S.E., Fuller K.R. Algebras for which every indecomposable right module is invariant in its injective envelope, Pac. J. Math. 31 (3), 655–658 (1969).Dickson S.E., Fuller K.R. Algebras for which every indecomposable right module is invariant in its injective envelope, Pac. J. Math. 31 (3), 655–658 (1969).Er N., Singh S., Srivastava A.K. Rings and modules which are stable under automorphisms of their injective hulls, J. Algebra 379, 223–229 (2013).Er N., Singh S., Srivastava A.K. Rings and modules which are stable under automorphisms of their injective hulls, J. Algebra 379, 223–229 (2013).Santa-Clara C. Extending modules with injective or semisimple summands, J. Pure Appl. Algebra 127 (2), 193–203 (1998).Santa-Clara C. Extending modules with injective or semisimple summands, J. Pure Appl. Algebra 127 (2), 193–203 (1998).Quynh T.C., Abyzov A.N., Ha N.T.T, Yildirim T. Modules close to the automorphism-invariant and coinvariant, J. Algebra Appl. 18 (12), 1950235 (2019).Quynh T.C., Abyzov A.N., Ha N.T.T, Yildirim T. Modules close to the automorphism-invariant and coinvariant, J. Algebra Appl. 18 (12), 1950235 (2019).Tuganbaev A.A. Automorphism-invariant semi-Artinian modules, J. Algebra Appl. 16 (2), 1750029 (2017).Tuganbaev A.A. Automorphism-invariant semi-Artinian modules, J. Algebra Appl. 16 (2), 1750029 (2017).Tuganbaev A.A. Semidistributive rings and modules (Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1998).Tuganbaev A.A. Semidistributive rings and modules (Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1998).Куликов Л.Я. К теории абелевых групп произвольной мощности, Матем. сб. 9 (51) (1), 165–181 (1941).Куликов Л.Я. К теории абелевых групп произвольной мощности, Матем. сб. 9 (51) (1), 165–181 (1941).Туганбаев А.А. Теория колец. Арифметические модули и кольца (МЦНМО, М., 2009).Туганбаев А.А. Теория колец. Арифметические модули и кольца (МЦНМО, М., 2009).Wisbauer R. Foundations of module and ring theory (Gordon and Breach Sci. Publ., Philadelphia, 1991).Wisbauer R. Foundations of module and ring theory (Gordon and Breach Sci. Publ., Philadelphia, 1991).Kasch F. Modules and rings (Acad. Press, Inc., London-New York, 1982).Kasch F. Modules and rings (Acad. Press, Inc., London-New York, 1982).Krilov P.A., Tuganbaev A.A. Modules over Discrete Valuation Domains (De Gruyter, Berlin, 2008).Krilov P.A., Tuganbaev A.A. Modules over Discrete Valuation Domains (De Gruyter, Berlin, 2008).Fuchs L. Abelian Groups (Springer Monogr. Math., 2015).Fuchs L. Abelian Groups (Springer Monogr. Math., 2015).Dung N.V., Huynh D.V., Smith P.F., Wisbauer R. Extending modules (Pitman Res. Notes Math. Ser., 1994).Dung N.V., Huynh D.V., Smith P.F., Wisbauer R. Extending modules (Pitman Res. Notes Math. Ser., 1994).Alahmadi A., Jain S.K., Leroy A. ADS modules, J. Algebra 352 (1), 215–222 (2012).Alahmadi A., Jain S.K., Leroy A. ADS modules, J. Algebra 352 (1), 215–222 (2012).Trang D.T., Koșan T.M., Tașdemir Ӧ., Quynh T.C. On modules and rings having large absolute direct summands, Commun. Algebra (2023) DOI: 10.1080/00927872.2023.2223301.Trang D.T., Koșan T.M., Tașdemir Ӧ., Quynh T.C. On modules and rings having large absolute direct summands, Commun. Algebra (2023) DOI: 10.1080/00927872.2023.2223301.Dung N.V., Huynh D.V., Wisbauer R. Quasi-injective modules with ACC or DCC on essential submodules, Arch. Math. 53, 252–255 (1989).Dung N.V., Huynh D.V., Wisbauer R. Quasi-injective modules with ACC or DCC on essential submodules, Arch. Math. 53, 252–255 (1989).Jain S.K., Lopez-Permouth S.R., Rizvi S.T. Continuous rings with ACC on essentials are Artinian, Proc. Amer. Math. Soc. 108, 583–586 (1990).Jain S.K., Lopez-Permouth S.R., Rizvi S.T. Continuous rings with ACC on essentials are Artinian, Proc. Amer. Math. Soc. 108, 583–586 (1990).Camillo V., Mohamed F. Yousif CS-Modules with ACC or DCC on essential submodules, Commun. Algebra 19 (2), 655–662 (1991).Camillo V., Mohamed F. Yousif CS-Modules with ACC or DCC on essential submodules, Commun. Algebra 19 (2), 655–662 (1991).Koșan M.T., Žemlička J. ADS Abelian groups, J. Algebra Appl., https://doi.org/10.1142/S0219498824501822 (2023).Koșan M.T., Žemlička J. ADS Abelian groups, J. Algebra Appl., https://doi.org/10.1142/S0219498824501822 (2023).Kamal M.A., Müller B.J. The structure of extending modules over noetherian rings, Osaka J. Math. 25, 539–551 (1988).Kamal M.A., Müller B.J. The structure of extending modules over noetherian rings, Osaka J. Math. 25, 539–551 (1988).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.