izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2024-6-68-79izvuzmath-86Research ArticleСтатьиУсловия предельной ограниченности решений и перманентности для гибридной системы типа Лотки—ВольтеррыConditions for ultimate boundedness of solutions and permanence for a hybrid Lotka–Volterra systemПлатоновА. В.PlatonovA. V.

Алексей Викторович Платонов

Университетская наб., д. 7–9, г. Санкт-Петербург, 199034

Alexey Viktorovich Platonov

7–9 Universitetskaya Nab., Saint Petersburg, 199034 

a.platonov@spbu.ruСанкт-Петербургский государственный университетРоссияSaint Petersburg State UniversityRussian Federation202425062024066879Copyright © Платонов А.В., 20242024Платонов А.В.Platonov A.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/86

Рассматривается обобщенная система типа Лотки–Вольтерры с переключениями. Изучаются условия предельной ограниченности решений и перманентности системы. С помощью прямого метода Ляпунова устанавливаются требования на закон переключения, позволяющие гарантировать нужную динамику решений системы. В фазовом пространстве системы строится притягивающее компактное инвариантное множество и обеспечивается заданная область притяжения для этого множества. Отличительной особенностью работы является применение комбинации двух разных функций Ляпунова, каждая из которых играет свою особую роль в решении задачи.

In the paper, a generalized Lotka–Volterra – type system with switching is considered. The conditions for the ultimate boundedness of solutions and the permanence of the system are studied. With the aid of the direct Lyapunov method, the requirements for the switching law are established to guarantee the necessary dynamics of the system. An attractive compact invariant set is constructed in the phase space of the system, and a given region of attraction for this set is provided. A distinctive feature of the work is the use of a combination of two different Lyapunov functions, each of which plays its own special role in solving the problem. 

обобщенная система Лотки–Вольтеррыпереключениепредельная ограниченность решенийперманентностьgeneralized Lotka--Volterra systemswitchingultimate boundedness of solutionspermanenceReferencesHofbauer J., Sigmund K. Evolutionary Games and Population Dynamics (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1998).Hofbauer J., Sigmund K. Evolutionary Games and Population Dynamics (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1998).Kazkurewicz E., Bhaya A. Matrix Diagonal Stability in Systems and Computation (Birkhauser, Boston, 1999).Kazkurewicz E., Bhaya A. Matrix Diagonal Stability in Systems and Computation (Birkhauser, Boston, 1999).Пых Ю. А. Равновесие и устойчивость в моделях популяционной динамики (Наука, М., 1983).Пых Ю. А. Равновесие и устойчивость в моделях популяционной динамики (Наука, М., 1983).Lu Z., Wang W. Permanence and global attractivity for Lotka–Volterra difference systems, J. Math. Biol. 39, 269–282 (1999).Lu Z., Wang W. Permanence and global attractivity for Lotka–Volterra difference systems, J. Math. Biol. 39, 269–282 (1999).Zhao J. D., Jiang J. F. Average conditions for permanence and extinction in nonautonomous Lotka–Volterra system, J. Math. Anal. Appl. 229, 663–675 (2004).Zhao J. D., Jiang J. F. Average conditions for permanence and extinction in nonautonomous Lotka–Volterra system, J. Math. Anal. Appl. 229, 663–675 (2004).Bao J., Mao X., Yin G., Yuan C. Competitive Lotka–Volterra population dynamics with jumps, Nonlinear Anal. 74 (17), 6601–6616 (2011).Bao J., Mao X., Yin G., Yuan C. Competitive Lotka–Volterra population dynamics with jumps, Nonlinear Anal. 74 (17), 6601–6616 (2011).Hu H., Wang K., Wu D. Permanence and global stability for nonautonomous N-species Lotka–Volterra competitive system with impulses and infinite delays, J. Math. Anal. Appl. 377 (1), 145–160 (2011).Hu H., Wang K., Wu D. Permanence and global stability for nonautonomous N-species Lotka–Volterra competitive system with impulses and infinite delays, J. Math. Anal. Appl. 377 (1), 145–160 (2011).Chakraborty K., Haldar S., Kar T.K. Global stability and bifurcation analysis of a delay induced prey – predator system with stage structure, Nonlinear Dyn. 73 (3), 1307–1325 (2013).Chakraborty K., Haldar S., Kar T.K. Global stability and bifurcation analysis of a delay induced prey – predator system with stage structure, Nonlinear Dyn. 73 (3), 1307–1325 (2013).Li L., Wang Zj. Global stability of periodic solutions for a discrete predator – prey system with functional response, Nonlinear Dyn. 72 (3), 507–516 (2013).Li L., Wang Zj. Global stability of periodic solutions for a discrete predator – prey system with functional response, Nonlinear Dyn. 72 (3), 507–516 (2013).Capone F., De Luca R., Rionero S. On the stability of non-autonomous perturbed Lotka–Volterra models, Appl. Math. Comput. 219 (12), 6868–6881 (2013).Capone F., De Luca R., Rionero S. On the stability of non-autonomous perturbed Lotka–Volterra models, Appl. Math. Comput. 219 (12), 6868–6881 (2013).Игнатьев А. О. О глобальной асимптотической устойчивости положения равновесия системы "хищник – жертва" в изменяющейся окружающей среде, Изв. вузов. Матем. (4), 8–14 (2017).Игнатьев А. О. О глобальной асимптотической устойчивости положения равновесия системы "хищник – жертва" в изменяющейся окружающей среде, Изв. вузов. Матем. (4), 8–14 (2017).Liberzon D. Switching in Systems and Control (Birkh¨auser, Boston, MA, 2003).Liberzon D. Switching in Systems and Control (Birkh¨auser, Boston, MA, 2003).Zu L., Jiang D., O’Regan D. Conditions for persistence and ergodicity of a stochastic Lotka–Volterra predator – prey model with regime switching, Comm. Nonlinear Sci. and Numerical Simulation 29 (1–3), 1–11 (2015).Zu L., Jiang D., O’Regan D. Conditions for persistence and ergodicity of a stochastic Lotka–Volterra predator – prey model with regime switching, Comm. Nonlinear Sci. and Numerical Simulation 29 (1–3), 1–11 (2015).Aleksandrov A. Yu., Aleksandrova E. B., Platonov A. V. Ultimate Boundedness Conditions for a Hybrid Model of Population Dynamics, in : Proc. of 21st IEEE Mediterranean Conference on Control and Automation (MED’2013), 622–627 (Platanias–Chania, Crite–Greece, 2013).Aleksandrov A. Yu., Aleksandrova E. B., Platonov A. V. Ultimate Boundedness Conditions for a Hybrid Model of Population Dynamics, in : Proc. of 21st IEEE Mediterranean Conference on Control and Automation (MED’2013), 622–627 (Platanias–Chania, Crite–Greece, 2013).Platonov A. V. On the global asymptotic stability and ultimate boundedness for a class of nonlinear switched systems, Nonlinear Dyn. 92 (4), 1555–1565 (2018).Platonov A. V. On the global asymptotic stability and ultimate boundedness for a class of nonlinear switched systems, Nonlinear Dyn. 92 (4), 1555–1565 (2018).Platonov A. V. Analysis of the Dynamical Behavior of Solutions for a Class of Hybrid Generalized Lotka– Volterra Models, Comm. Nonlinear Sci. and Numerical Simulation 119, Art. Number 107068 (2023).Platonov A. V. Analysis of the Dynamical Behavior of Solutions for a Class of Hybrid Generalized Lotka– Volterra Models, Comm. Nonlinear Sci. and Numerical Simulation 119, Art. Number 107068 (2023).Wang S., Wu W., Lu J., She Zh. Inner-approximating domains of attraction for discrete-time switched systems via multi-step multiple Lyapunov-like functions, Nonlinear Anal. Hybrid Systems 40, Art. Number 100993 (2021).Wang S., Wu W., Lu J., She Zh. Inner-approximating domains of attraction for discrete-time switched systems via multi-step multiple Lyapunov-like functions, Nonlinear Anal. Hybrid Systems 40, Art. Number 100993 (2021).Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ. (Мир, М., 1970).Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ. (Мир, М., 1970).Aleksandrov A. Yu., Chen Y., Platonov A. V., Zang L., Stability analysis for a class of switched nonlinear systems, Automatica 47, 2286–2291 (2011).Aleksandrov A. Yu., Chen Y., Platonov A. V., Zang L., Stability analysis for a class of switched nonlinear systems, Automatica 47, 2286–2291 (2011).Liu D., Michel A. N. Dynamical Systems with Saturation Nonlinearities: analysis and design (Springer–Verlag, London, 1994).Liu D., Michel A. N. Dynamical Systems with Saturation Nonlinearities: analysis and design (Springer–Verlag, London, 1994).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.