izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2024-6-3-14izvuzmath-81Research ArticleСтатьиНеравенства для разностей средних на пространствах H1Inequalities for the differences of averages on H1 spacesДемирС.DemirS.

Сакин Демир

г. Агры, 04100

Sakin Demir

A˘grı, 04100 Turkey

sakin.demir@gmail.comУниверситет Агры Ибрагима ЧеченаТурцияAgri Ibrahim Cecen UniversityTurkey20242506202406314Copyright © Демир С., 20242024Демир С.Demir S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/81

Пусть $(x_n)$ --- последовательность и  $\{c_k\}\in \ell^\infty (\mathbb{Z})$, причем $\|c_k\|_{\ell^\infty}\leq 1$. Определим$$\mathcal{G}(x_n)=\sup_j\left|\sum_{k=0}^j c_k(x_{n_{k+1}}-x_{n_k})\right|.$$Пусть $(X,\beta ,\mu ,\tau )$ --- эргодическая, сохраняющая меру динамическая система, где  $(X,\beta ,\mu )$ --- пространство со вполне $\sigma$-конечной мерой. Предположим, что последовательность $(n_k)$ лакунарна. В статье  доказаны следующие результаты:(i) положим $\phi_n(x)=\dfrac{1}{n}\chi_{[0,n]}(x)$ на $\mathbb{R}$, тогда существует константа $C>0$ такая, что$$\|\mathcal{G}(\phi_n\ast f)\|_{L^1(\mathbb{R})}\leq C\|f\|_{H^1(\mathbb{R})}$$для всех $f\in H^1(\mathbb{R})$,(ii) пусть$$A_nf(x)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\big(\tau^kx\big)$$--- обычные эргодические средние из эргодической теории, тогда$$\|\mathcal{G}(A_nf)\|_{L^1(X)}\leq C\|f\|_{H^1(X)}$$для всех $f\in H^1(X)$,(iii) если $[f(x)\log (x)]^+$ интегрируема, то $\mathcal{G}(A_nf)$ также интегрируема.

Let $(x_n)$ be a sequence and $\{c_k\}\in \ell^\infty (\mathbb{Z})$ such that $\|c_k\|_{\ell^\infty}\leq 1$. Define$$\mathcal{G}(x_n)=\sup_j\left|\sum_{k=0}^j c_k(x_{n_{k+1}}-x_{n_k})\right|.$$Let now $(X,\beta ,\mu ,\tau )$ be an ergodic, measure preserving dynamical system with $(X,\beta ,\mu )$ a totally $\sigma$-finite measure space. Suppose that the sequence $(n_k)$ is lacunary. Then we prove the following results:(i) Define $\phi_n(x)=\dfrac{1}{n}\chi_{[0,n]}(x)$ on $\mathbb{R}$. Then there exists a constant $C>0$ such that$$\|\mathcal{G}(\phi_n\ast f)\|_{L^1(\mathbb{R})}\leq C\|f\|_{H^1(\mathbb{R})}$$for all $f\in H^1(\mathbb{R})$,(ii) Let$$A_nf(x)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(\tau^kx)$$be the usual ergodic averages in ergodic theory. Then$$\|\mathcal{G}(A_nf)\|_{L^1(X)}\leq C\|f\|_{H^1(X)}$$for all $f\in H^1(X)$,(iii) If $[f(x)\log (x)]^+$ is integrable, then $\mathcal{G}(A_nf)$ is integrable.

разностная последовательностьэргодическое пространство Хардиэргодическое среднеелакунарная последовательностьdifference sequenceergodic Hardy spaceergodic Averagelacunar sequenceReferencesCalder´on A.P. Ergodic theory and translation-invariant operators, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 59 (2), 349–353 (1968).Calder´on A.P. Ergodic theory and translation-invariant operators, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 59 (2), 349–353 (1968).Demir S. Variational inequalities for the differences of averages over lacunary sequences, New York J. Math. 28, 1099–1111 (2022).Demir S. Variational inequalities for the differences of averages over lacunary sequences, New York J. Math. 28, 1099–1111 (2022).Demir S. A generalizaition of Calder´on transfer principle, J. Comp. Math. Sci. 9 (5), 325–329 (2018).Demir S. A generalizaition of Calder´on transfer principle, J. Comp. Math. Sci. 9 (5), 325–329 (2018).Coifman R., Weiss G. Maximal Function and Hp Spaces Defined by Ergodic Transformations, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 70 (6), 1761–1763 (1973).Coifman R., Weiss G. Maximal Function and Hp Spaces Defined by Ergodic Transformations, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 70 (6), 1761–1763 (1973).Caballero R., de la Torre A. An atomic theory of ergodic Hp spaces, Studia Math. 82 (1), 39–69 (1985).Caballero R., de la Torre A. An atomic theory of ergodic Hp spaces, Studia Math. 82 (1), 39–69 (1985).Ornstein D. A remark on Birkhoff ergodic theorem, Illinois J. Math. 15, 77–79 (1971).Ornstein D. A remark on Birkhoff ergodic theorem, Illinois J. Math. 15, 77–79 (1971).Demir S. Hp Spaces and Inequalities in Ergodic Theory, Ph.D Thesis (University of Illinois at Urbana- Champaign, USA, May 1999).Demir S. Hp Spaces and Inequalities in Ergodic Theory, Ph.D Thesis (University of Illinois at Urbana- Champaign, USA, May 1999).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.