ул. Первомайская, д. 208, г. Майкоп, 385000
208 Pervomayskaya str., Maykop, 385000
Тематика исследования данной работы находится на стыке теории показателей Ляпунова и теории колеблемости. Изучаются спектры (т. е. множества различных значений на ненулевых решениях) показателей колеблемости знаков (строгих и нестрогих), нулей, корней и гиперкорней линейных однородных дифференциальных уравнений с непрерывными на положительной полуоси коэффициентами. В первой части работы конструктивно построено дифференциальное уравнение третьего порядка, обладающая тем свойством, что ее спектры всех верхних и нижних сильных и слабых показателей колеблемости строгих и нестрогих знаков, нулей, корней и гиперкорней содержат счетное множество различных существенных значений, причем как метрически, так и топологически. Более того, все эти значения реализованы на одной и той же последовательности решений построенного уравнения, т. е. для каждого решения из этой последовательности все перечисленные выше показатели колеблемости совпадают между собой. При построении указанного уравнения и доказательстве требуемых результатов использованы аналитические методы качественной теории дифференциальных уравнений и методы теории возмущений решений линейных дифференциальных уравнений, в частности, авторская методика управления фундаментальной системой решений таких уравнений в одном частном случае. Во второй части работы доказано существование дифференциального уравнения третьего порядка с континуальными спектрами показателей колеблемости. При этом спектры всех показателей колеблемости заполняют один и тот же отрезок числовой оси с наперед заданными произвольными положительными несоизмеримыми концами. Оказалось, что для каждого решения построенного уравнения все показатели колеблемости совпадают между собой. Полученные результаты носят теоретический характер, они расширяют наши представления о возможных спектрах показателей колеблемости линейных однородных дифференциальных уравнений.
The research topic of this work is at the junction of the theory of Lyapunov exponents and oscillation theory. In this paper, we study the spectra (i.e., the sets of different values on nonzero solutions) of the exponents of oscillation of signs (strict and nonstrict), zeros, roots, and hyperroots of linear homogeneous differential equations with coefficients continuous on the positive semi-axis. In the first part of the paper, we build a third order linear differential equation with the following property: the spectra of all upper and lower strong and weak exponents of oscillation of strict and non-strict signs, zeros, roots and hyper roots contain a countable set of different essential values, both metrically and topologically. Moreover, all these values are implemented on the same sequence of solutions of the constructed equation, that is, for each solution from this sequence, all of the oscillation exponents coincide with each other. In the construction of the indicated equation and in the proof of the required results, we used analytical methods of the qualitative theory of differential equations and methods from the theory of perturbations of solutions of linear differential equations, in particular, the author’s technique for controlling the fundamental system of solutions of such equations in one special case. In the second part of the paper, the existence of a third order linear differential equation with continuum spectra of the oscillation exponents is established, wherein the spectra of all oscillation exponents fill the same segment of the number axis with predetermined arbitrary positive incommensurable ends. It turned out that for each solution of the constructed differential equation, all of the oscillation exponents coincide with each other. The obtained results are theoretical in nature, they expand our understanding of the possible spectra of oscillation exponents of linear homogeneous differential equations.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.