г. Агры, 04100
Agrı, 04100
Пусть \phi \in S , \int \phi (x) dx = 1, определим \phi t(x) = 1 tn \phi \Bigl( x t \Bigr) и обозначим семейство функций \{ \phi t \ast f(x)\} t>0 через \Phi \ast f(x). Пусть также \scrJ — подмножество \BbbR (или, более общо, упорядоченное множество индексов) и существует константа C1 такая, что \sum t\in \scrJ \bigm| \bigm| \^\phi t(x) \bigm| \bigm| 2 < C1 для всех x \in \BbbR n. Тогда i) существует константа C2 > 0 такая, что \| V2(\Phi \ast f)\| Lp \leq C2\| f\| Hp, n n + 1 < p \leq 1, для всех f \in Hp(\BbbR n), n n + 1 < p \leq 1; ii) оператор \lambda -скачка N\lambda (\Phi \ast f) удовлетворяет условию \bigm\| \bigm\| \lambda [N\lambda (\Phi \ast f)]1/2\bigm\| \bigm\| Lp \leq C3\| f\| Hp, n n + 1 < p \leq 1, равномерно по \lambda > 0 при некоторой постоянной C3 > 0.
Let \phi \in S with \int \phi (x) dx = 1, and define \phi t(x) = 1 tn \phi \Bigl( x t \Bigr) , and denote the function family \{ \phi t\ast f(x)\} t>0 by \Phi \ast f(x). Let \scrJ be a subset of \BbbR (or more generally an ordered index set), and suppose that there exists a constant C1 such that \sum t\in \scrJ | \^\phi t(x)| 2 < C1 for all x \in \BbbR n. Then i) There exists a constant C2 > 0 such that \| V2(\Phi \ast f)\| Lp \leq C2\| f\| Hp, n n + 1 < p \leq 1 for all f \in Hp(\BbbR n), n n + 1 < p \leq 1. ii) The \lambda -jump operator N\lambda (\Phi \ast f) satisfies \| \lambda [N\lambda (\Phi \ast f)]1/2\| Lp \leq C3\| f\| Hp, n n + 1 < p \leq 1, uniformly in \lambda > 0 for some constant C3 > 0.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.