izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2024-3-70-83izvuzmath-60Research ArticleСтатьиИнтегрирование уравнения типа синус-Гордона с дополнительным членом в классе периодических бесконечнозонных функцийIntegration of a sine-Gordon type equation with an additional term in the class of periodic infinite-gap functionsХасановА. Б.KhasanovA. B.

Акназар Бекдурдиевич Хасановул. Университетский бульвар, д. 15, г. Самарканд, 140104

Aknazar Bekdurdiyevich Khasanov15 University blvd. str., Samarkand, 140104

ahasanov2002@mail.ruНормуродовХ. Н.NormurodovKh. N.

Хожимурод Нормуминович Нормуродов,ул. Университетский бульвар, д. 15, г. Самарканд, 140104

Khojimurod Normuminovich Normurodov15 University blvd. str., Samarkand, 140104 

normurodov.96@bk.ruСамаркандский государственный университетУзбекистанSamarkand State UniversityUzbekistan202409042024037083Copyright © Хасанов А.Б., Нормуродов Х.Н., 20242024Хасанов А.Б., Нормуродов Х.Н.Khasanov A.B., Normurodov K.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/60

В данной работе метод обратной спектральной задачи применяется для интегрирования нелинейного уравнения типа синус-Гордона с дополнительным членом в классе периодических бесконечнозонных функций. Доказана разрешимость задачи Коши для бесконечной системы дифференциальных уравнений Дубровина в классе три раза непрерывно дифференцируемых периодических бесконечнозонных функций. Показано, что сумма равномерно сходящегося функционального ряда, построенного с помощью решения системы уравнений Дубровина и формулы первого следа, удовлетворяет уравнению типа синус-Гордона с дополнительным членом.

In this paper, the inverse spectral problem method is used to integrate a nonlinear sine-Gordon type equation with an additional term in the class of periodic infinite-gap functions. The solvability of the Cauchy problem for an infinite system of Dubrovin differential equations in the class of three times continuously differentiable periodic infinite-gap functions is proved. It is shown that the sum of a uniformly convergent functional series constructed by solving the system of Dubrovin equations and the first trace formula satisfies sine-Gordon-type equations with an additional term.

уравнение типа синус-Гордонаоператор Диракаспектральные данныесистема уравнений Дубровинаформула следаsine-Gordon type equationDirac operatorspectral dataDubrovin's system of equationstrace formulaReferencesЖибер А.В., Муртазина Р.Д., Хабибуллин И.Т., Шабат А.Б. Характеристические кольца Ли и нелинейные интегрируемые уравнения (М.-Ижевск, 2012).Жибер А.В., Муртазина Р.Д., Хабибуллин И.Т., Шабат А.Б. Характеристические кольца Ли и нелинейные интегрируемые уравнения (М.-Ижевск, 2012).Захаров В.Е., Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. "Полное описание решений "sine-Gordon" уравнения", Докл. АН СССР 219 (6), 1334-1337 (1974).Захаров В.Е., Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. "Полное описание решений "sine-Gordon" уравнения", Докл. АН СССР 219 (6), 1334-1337 (1974).Ablowitz M.J., Kaup D.J., Newell A.C., Sugur H. "Method for solving the sine-Gordon equation", Phys. Rev. Lett. 30 (25), 1262-1264 (1973).Ablowitz M.J., Kaup D.J., Newell A.C., Sugur H. "Method for solving the sine-Gordon equation", Phys. Rev. Lett. 30 (25), 1262-1264 (1973).Козел В.А., Котляров В.П. Конечнозонные решения уравнения sine-Gordon (Препринт ФТИНТ АН УССР, (9-77), Харьков, 1977).Козел В.А., Котляров В.П. Конечнозонные решения уравнения sine-Gordon (Препринт ФТИНТ АН УССР, (9-77), Харьков, 1977).Итс А.Р., Котляров В.П. "Явные формулы для решений нелинейного уравнения Шрёдингера", Докл. АН УССР. Сер. А. (11), 878-880 (1976).Итс А.Р., Котляров В.П. "Явные формулы для решений нелинейного уравнения Шрёдингера", Докл. АН УССР. Сер. А. (11), 878-880 (1976).Дубровин Б.А., Натанзон С.М. "Вещественные двухзонные решения уравнения sine-Gordon", Функц. анализ и их прил. 16 (1), 27-43 (1982).Дубровин Б.А., Натанзон С.М. "Вещественные двухзонные решения уравнения sine-Gordon", Функц. анализ и их прил. 16 (1), 27-43 (1982).Смирнов А.О. "3-эллиптические решения уравнения "sine-Gordon", Матем. заметки 62 (3), 440-450 (1997).Смирнов А.О. "3-эллиптические решения уравнения "sine-Gordon", Матем. заметки 62 (3), 440-450 (1997).Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи (Наука, М., 1980).Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи (Наука, М., 1980).Митрапольский Ю.А., Боголюбов Н.Н. (мл.), Прикарпатский А.К., Самойленко В.Г. Интегрируемые динамические системы: спектральные и дифференциально-геометрические аспекты (Наук. думка, Киев, 1987).Митрапольский Ю.А., Боголюбов Н.Н. (мл.), Прикарпатский А.К., Самойленко В.Г. Интегрируемые динамические системы: спектральные и дифференциально-геометрические аспекты (Наук. думка, Киев, 1987).Matveev V.B. "30 years of finite-gap integration theory", Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A 366 (1867), 837-875 (2008).Matveev V.B. "30 years of finite-gap integration theory", Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A 366 (1867), 837-875 (2008).Babazhanov B.A., Khasanov A.B. "Inverse problem for a quadratic pencil of Sturm-Liouville operators with finite-gap periodic potential on the half-line", Diff. Equat. 43 (6), 737-744 (2007).Babazhanov B.A., Khasanov A.B. "Inverse problem for a quadratic pencil of Sturm-Liouville operators with finite-gap periodic potential on the half-line", Diff. Equat. 43 (6), 737-744 (2007).Khasanov A.B., Yakhshimuratov A.B. "Inverse problem on the half-line for the Sturm-Liouville operator with periodic potential", Diff. Equat. 51 (1), 23-32 (2015).Khasanov A.B., Yakhshimuratov A.B. "Inverse problem on the half-line for the Sturm-Liouville operator with periodic potential", Diff. Equat. 51 (1), 23-32 (2015).Ince E.L. "A proof of the impossibility of the coexistence of two Mathieu functions", Proc. Cambr. Phil. Soc. 21, 117-120 (1922).Ince E.L. "A proof of the impossibility of the coexistence of two Mathieu functions", Proc. Cambr. Phil. Soc. 21, 117-120 (1922).Джаков П.Б., Митягин Б.С. "Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шрёдингера и Дирака", УМН 61: 4(370), 77-182 (2006).Джаков П.Б., Митягин Б.С. "Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шрёдингера и Дирака", УМН 61: 4(370), 77-182 (2006).Хасанов А.Б., Хасанов М.М. "Интегрирование нелинейного уравнения Шрёдингера с дополнительным членом в классе периодических функций", ТМФ 199 (1), 60-68 (2019).Хасанов А.Б., Хасанов М.М. "Интегрирование нелинейного уравнения Шрёдингера с дополнительным членом в классе периодических функций", ТМФ 199 (1), 60-68 (2019).Хасанов А.Б., Матякубов М.М. "Интегрирование нелинейного уравнения Кортевега-де Фриза с дополнительным членом", ТМФ 203 (2), 192-204 (2020).Хасанов А.Б., Матякубов М.М. "Интегрирование нелинейного уравнения Кортевега-де Фриза с дополнительным членом", ТМФ 203 (2), 192-204 (2020).Хасанов А.Б., Хасанов Т.Г. "Задача Коши для уравнения Кортевега-де Фриза в классе периодических бесконечнозонных функций", Зап. науч. сем. ПОМИ 506, 258-279 (2021).Хасанов А.Б., Хасанов Т.Г. "Задача Коши для уравнения Кортевега-де Фриза в классе периодических бесконечнозонных функций", Зап. науч. сем. ПОМИ 506, 258-279 (2021).Khasanov A.B., Allanazarova T.Z. "On the modified Korteweg-de Vries equation with loaded term", Ukr. Math. J. 73 (11), 1783-1809 (2022).Khasanov A.B., Allanazarova T.Z. "On the modified Korteweg-de Vries equation with loaded term", Ukr. Math. J. 73 (11), 1783-1809 (2022).Хасанов А.Б., Хасанов Т.Г. "Интегрирование нелинейного уравнения Кортевега-де Фриза с нагруженным членом и источником", Сиб. журн. индустр. матем. 25 (2), 127-142 (2022).Хасанов А.Б., Хасанов Т.Г. "Интегрирование нелинейного уравнения Кортевега-де Фриза с нагруженным членом и источником", Сиб. журн. индустр. матем. 25 (2), 127-142 (2022).Бабажанов Б.А., Хасанов А.Б. "Интегрирование уравнения типа периодической цепочки Тоды", Уфимск. матем. журн. 9 (2), 17-24 (2017).Бабажанов Б.А., Хасанов А.Б. "Интегрирование уравнения типа периодической цепочки Тоды", Уфимск. матем. журн. 9 (2), 17-24 (2017).Домрин А.В. "Замечания о локальном варианте метода обратной задачи рассеяния", Тр. МИАН 2006, 46-60.Домрин А.В. "Замечания о локальном варианте метода обратной задачи рассеяния", Тр. МИАН 2006, 46-60.Хасанов А.Б., Яхшимуратов А.Б. "Почти-периодичность бесконечнозонных потенциалов оператора Дирака", Докл. РАН 350 (6), 746-748 (1996).Хасанов А.Б., Яхшимуратов А.Б. "Почти-периодичность бесконечнозонных потенциалов оператора Дирака", Докл. РАН 350 (6), 746-748 (1996).Маннонов Г.А., Хасанов А.Б. "Задача Коши для нелинейного уравнения Хироты в классе периодических бесконечнозонных функций", Алгебра и анализ 34 (5), 139-172 (2022).Маннонов Г.А., Хасанов А.Б. "Задача Коши для нелинейного уравнения Хироты в классе периодических бесконечнозонных функций", Алгебра и анализ 34 (5), 139-172 (2022).Муминов У.Б., Хасанов А.Б. "Интегрирование дефокусирующего нелинейного уравнения Шрёдингера с дополнительными членами", ТМФ 211 (1), 84-104 (2022).Муминов У.Б., Хасанов А.Б. "Интегрирование дефокусирующего нелинейного уравнения Шрёдингера с дополнительными членами", ТМФ 211 (1), 84-104 (2022).Муминов У.Б., Хасанов А.Б. "Задача Коши для дефокусирующего нелинейного уравнения Шрёдингера с нагруженным членом", Матем. тр. 25 (1), 102-133 (2022).Муминов У.Б., Хасанов А.Б. "Задача Коши для дефокусирующего нелинейного уравнения Шрёдингера с нагруженным членом", Матем. тр. 25 (1), 102-133 (2022).McKean H., Trubowitz E. "Hill's operator and hyperelliptic function theory in the presence of infinitely many branch points", Comm. Pure Appl. Math. 29 (2), 143-226 (1976).McKean H., Trubowitz E. "Hill's operator and hyperelliptic function theory in the presence of infinitely many branch points", Comm. Pure Appl. Math. 29 (2), 143-226 (1976).Lax P.D. "Almost periodic solutions of the KdV equation", SIAM Rev. 18 (3), 351-375 (1976).Lax P.D. "Almost periodic solutions of the KdV equation", SIAM Rev. 18 (3), 351-375 (1976).Левитан Б.М. "Почти-периодичность бесконично-зонных потенциалов", Изв. АН СССР. Сер. Матем. 45 (2), 291-320 (1981).Левитан Б.М. "Почти-периодичность бесконично-зонных потенциалов", Изв. АН СССР. Сер. Матем. 45 (2), 291-320 (1981).Даниелян А.А., Левитан Б.М., Хасанов А.Б. "Асимптотика m-функции Вейля-Титчмарша в случае системы Дирака", Матем. заметки 50 (2), 67-76 (1991).Даниелян А.А., Левитан Б.М., Хасанов А.Б. "Асимптотика m-функции Вейля-Титчмарша в случае системы Дирака", Матем. заметки 50 (2), 67-76 (1991).Мисюра Т.В. "Характеристика спектров периодической и антипериодической краевых задач, порождаемых операцией Дирака I", Теория функций, функц. анализ и их прил. 30, 90-101 (Вища шк., Харьков, 1978).Мисюра Т.В. "Характеристика спектров периодической и антипериодической краевых задач, порождаемых операцией Дирака I", Теория функций, функц. анализ и их прил. 30, 90-101 (Вища шк., Харьков, 1978).Хасанов А.Б., Ибрагимов А.М. "Об обратной задаче для оператора Дирака с периодическим потенциалом", Узбекск. матем. журн. (3-4), 48-55 (2001).Хасанов А.Б., Ибрагимов А.М. "Об обратной задаче для оператора Дирака с периодическим потенциалом", Узбекск. матем. журн. (3-4), 48-55 (2001).Хасанов А.Б., Яхшимуратов А.Б. "Аналог обратной теоремы Г. Борга для оператора Дирака", Узбекск. матем. журн. (3-4), 40-46 (2000).Хасанов А.Б., Яхшимуратов А.Б. "Аналог обратной теоремы Г. Борга для оператора Дирака", Узбекск. матем. журн. (3-4), 40-46 (2000).Currie S., Roth T.T., Watson T.B.A. "Borg's periodicity theorems for first-order self-adjoint systems with complex potentials", Proc. Edinb. Math. Soc. 60 (3), 615-633 (2017).Currie S., Roth T.T., Watson T.B.A. "Borg's periodicity theorems for first-order self-adjoint systems with complex potentials", Proc. Edinb. Math. Soc. 60 (3), 615-633 (2017).Bättig D., Grébert B., Guillot J.-C., Kappeler T. "Folation of phase space for the cubic nonlinear Schrödinger equation", Compos. Math. 85 (2), 163-199 (1993).Bättig D., Grébert B., Guillot J.-C., Kappeler T. "Folation of phase space for the cubic nonlinear Schrödinger equation", Compos. Math. 85 (2), 163-199 (1993).Grébert B., Guillot J.-C. "Gaps of one-dimensional periodic AKNS systems", Forum Math. 5 (5), 459-504 (1993).Grébert B., Guillot J.-C. "Gaps of one-dimensional periodic AKNS systems", Forum Math. 5 (5), 459-504 (1993).Korotyaev E. "Inverse problem and estimates for periodic Zakharov-Shabat systems", J. Reine Angew. Math. 583, 87-115 (2005).Korotyaev E. "Inverse problem and estimates for periodic Zakharov-Shabat systems", J. Reine Angew. Math. 583, 87-115 (2005).Korotyaev E., Mokeev D. "Dubrovin equation for periodic Dirac operator on the half-line", Appl. Anal. 101 (1), 337-365 (2020).Korotyaev E., Mokeev D. "Dubrovin equation for periodic Dirac operator on the half-line", Appl. Anal. 101 (1), 337-365 (2020).Trubowiz E. "The inverse problem for periodic potentials", Comm. Pure. Appl. Math. 30 (3), 321-337 (1977).Trubowiz E. "The inverse problem for periodic potentials", Comm. Pure. Appl. Math. 30 (3), 321-337 (1977).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.