izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2024-3-50-63izvuzmath-58Research ArticleСтатьиКлассическое решение задачи Коши для полулинейного гиперболического уравнения в случае двух независимых переменныхClassical solution of the Cauchy problem for a semilinear hyperbolic equation in the case of two independent variablesКорзюкВ. И.KorzyukV. I.

Корзюк Виктор Иванович 

ул. Сурганова, д. 11, г. Минск, 220072; пр. Независимости, д. 4, г. Минск, 220030

Viktor Ivanovich Korzyuk11 Surganov str., Minsk, 220072 ; 4 Nezavisimosti Ave., Minsk, 220030

korzyuk@bsu.byРудькоЯ. В.RudzkoJa. V.

Ян Вячеславович Рудько

ул. Сурганова, д. 11, г. Минск, 220072; пр. Независимости, д. 4, г. Минск, 220030

Jan Viaczaslavavicz Rudzko

11 Surganov str., Minsk, 220072 ; 4 Nezavisimosti Ave., Minsk, 220030

janycz@yahoo.comИнститут математики Национальной академии наук Беларуси; Белорусский государственный университетБеларусьInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus; Belarusian State UniversityBelarus202408042024035063Copyright © Корзюк В.И., Рудько Я.В., 20242024Корзюк В.И., Рудько Я.В.Korzyuk V.I., Rudzko J.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/58

В полуплоскости рассматривается нелинейное уравнение в частных производных строго гиперболического типа порядка больше двух. Оператор в уравнении представляет собой произведение дифференциальных операторов первого порядка. К уравнению присоединяются условия Коши. Решение строится в неявном аналитическом виде как решение некоторого интегрального уравнения. Локальная разрешимость этого уравнения доказывается с помощью теоремы Банаха о неподвижной точке и/или теоремы Шаудера о неподвижной точке, а глобальная разрешимость - с помощью теоремы Лере-Шаудера. Для рассматриваемой задачи доказывается единственность решения и устанавливаются условия, при выполнении которых существует ее классическое решение.

In the upper half-plane, we consider a semilinear hyperbolic partial differential equation of order higher than two. The operator in the equation is a composition of first-order differential operators. The equation is accompanied with Cauchy conditions. The solution is constructed in an implicit analytical form as a solution of some integral equation. The local solvability of this equation is proved by the Banach fixed point theorem and/or the Schauder fixed point theorem. The global solvability of this equation is proved by the Leray-Schauder fixed point theorem. For the problem in question, the uniqueness of the solution is proved and the conditions under which its classical solution exists are established.

задача Кошиклассическое решениелокальная разрешимостьглобальная разрешимостьгиперболическое уравнениеполулинейное уравнениеаприорные оценкипринцип неподвижной точкиCauchy problemclassical solutionlocal solvabilityglobal solvabilityhyperbolic equationsemilinear equationa priori estimatefixed point principleReferencesEvans L.C. Partial differential equations, 2nd edition (Amer. Math. Soс., Providence, R.I., 2010).Evans L.C. Partial differential equations, 2nd edition (Amer. Math. Soс., Providence, R.I., 2010).Корзюк В.И., Козловская И.С. "Решение задачи Коши для гиперболического уравнения с постоянными коэффициентами в случае двух независимых переменных", Дифференц. уравнения 48 (5), 700-709 (2012).Корзюк В.И., Козловская И.С. "Решение задачи Коши для гиперболического уравнения с постоянными коэффициентами в случае двух независимых переменных", Дифференц. уравнения 48 (5), 700-709 (2012).Leray J. Hyperbolic Differential Equations (Institute for Advanced Study, Princeton, N.Y., 1953).Leray J. Hyperbolic Differential Equations (Institute for Advanced Study, Princeton, N.Y., 1953).Петровский И.Г. "Über das Cauchysche Problem für Systeme von partiellen Differentialgleichungen", Матем. сб. 2(44) (5), 815-870 (1937).Петровский И.Г. "Über das Cauchysche Problem für Systeme von partiellen Differentialgleichungen", Матем. сб. 2(44) (5), 815-870 (1937).Рождественский В.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике, 2nd edition (Наука, М., 1978).Рождественский В.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике, 2nd edition (Наука, М., 1978).Физическая энциклопедия: в 5 т. Т. 3 под ред. Прохорова А.М. (Большая российская энциклопедия, М., 1992).Физическая энциклопедия: в 5 т. Т. 3 под ред. Прохорова А.М. (Большая российская энциклопедия, М., 1992).Корзюк В.И., Козловская И.С., Козлов А.И. "Задача Коши для нестрого гиперболического уравнения на полуплоскости с постоянными коэффициентами", Дифференц. уравнения 51 (6), 714-725 (2015).Корзюк В.И., Козловская И.С., Козлов А.И. "Задача Коши для нестрого гиперболического уравнения на полуплоскости с постоянными коэффициентами", Дифференц. уравнения 51 (6), 714-725 (2015).Петровский И.Г. "On the diffusion of waves and the lacunas for hyperbolic equations", Матем. сб. 17(59) (3), 289-370 (1945).Петровский И.Г. "On the diffusion of waves and the lacunas for hyperbolic equations", Матем. сб. 17(59) (3), 289-370 (1945).Гальперн С.А., Кондрашов В.Е. "Задача Kоши для дифференциальных операторов, распадающихся на волновые множители", Тр. ММО 16, 109-136 (1967).Гальперн С.А., Кондрашов В.Е. "Задача Kоши для дифференциальных операторов, распадающихся на волновые множители", Тр. ММО 16, 109-136 (1967).Korzyuk V., Nguyen V.V., Minh N.T. "Classical solution of the Cauchy problem for biwave equation: Application of Fourier transform", Math. Modelling Anal. 17 (5), 630-641 (2012).Korzyuk V., Nguyen V.V., Minh N.T. "Classical solution of the Cauchy problem for biwave equation: Application of Fourier transform", Math. Modelling Anal. 17 (5), 630-641 (2012).Барановская С.Н., Юрчук Н.И., Чарие Коку "Ослабленное на оси классическое решение центрально-симметрической смешанной задачи для трехмерного гиперболического уравнения четного порядка в пространствах Гёльдера", Дифференц. уравнения 42 (10), 1349-1355 (2006).Барановская С.Н., Юрчук Н.И., Чарие Коку "Ослабленное на оси классическое решение центрально-симметрической смешанной задачи для трехмерного гиперболического уравнения четного порядка в пространствах Гёльдера", Дифференц. уравнения 42 (10), 1349-1355 (2006).Гальперн С.А. "Фундаментальные решения и лакуны квазигиперболических уравнений", УМН 29 (2(176)), 154-165 (1974).Гальперн С.А. "Фундаментальные решения и лакуны квазигиперболических уравнений", УМН 29 (2(176)), 154-165 (1974).Корзюк В.И., Столярчук И.И. "Классическое решение первой смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка в криволинейной полуполосе с переменными коэффициентами", Дифференц. уравнения 53 (1), 77-88 (2017).Корзюк В.И., Столярчук И.И. "Классическое решение первой смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка в криволинейной полуполосе с переменными коэффициентами", Дифференц. уравнения 53 (1), 77-88 (2017).Korzyuk V.I., Rudzko J.V. "Classical solution of the initial-value problem for a one-dimensional quasilinear wave equation", in: XX Международная научная конференция по дифференциальным уравнениям (Еругинские чтения-2022):$ Матер. международн. научн. конф. Ч.2. Новополоцк, ed. by Козлова А.А., 38-39 (Полоцкий гос. ун-т, Новополоцк, 2022).Korzyuk V.I., Rudzko J.V. "Classical solution of the initial-value problem for a one-dimensional quasilinear wave equation", in: XX Международная научная конференция по дифференциальным уравнениям (Еругинские чтения-2022):$ Матер. международн. научн. конф. Ч.2. Новополоцк, ed. by Козлова А.А., 38-39 (Полоцкий гос. ун-т, Новополоцк, 2022).Корзюк В.И., Рудько Я.В. "Классическое решение первой смешанной задачи для телеграфного уравнения с нелинейным потенциалом", Дифференц. уравнения 58 (2), 174-184 (2022).Корзюк В.И., Рудько Я.В. "Классическое решение первой смешанной задачи для телеграфного уравнения с нелинейным потенциалом", Дифференц. уравнения 58 (2), 174-184 (2022).Korzyuk V.I., Rudzko J.V. "Classical solution of the initial-value problem for a one-dimensional quasilinear wave equation", Dokl. National Acad. Sci. Belarus 67 (1), 14-19 (2023).Korzyuk V.I., Rudzko J.V. "Classical solution of the initial-value problem for a one-dimensional quasilinear wave equation", Dokl. National Acad. Sci. Belarus 67 (1), 14-19 (2023).Korzyuk V.I., Rudzko J.V. "Classical solution of the initial-value problem for a quasilinear wave equation with discontinuous initial conditions", Dokl. National Acad. Sci. Belarus 67 (3), 183-188 (2023).Korzyuk V.I., Rudzko J.V. "Classical solution of the initial-value problem for a quasilinear wave equation with discontinuous initial conditions", Dokl. National Acad. Sci. Belarus 67 (3), 183-188 (2023).Харибегашвили С.С., Джохадзе О.М. "Задача Коши для обобщенного нелинейного уравнения Лиувилля", Дифференц. уравнения 47 (12), 1741-1753 (2011).Харибегашвили С.С., Джохадзе О.М. "Задача Коши для обобщенного нелинейного уравнения Лиувилля", Дифференц. уравнения 47 (12), 1741-1753 (2011).Mydlarczyk W. "A singular initial value problem for the equation u(n)(x)=g(u(x))", Annal. Polonici Math. 68, 177-189 (1998).Mydlarczyk W. "A singular initial value problem for the equation u(n)(x)=g(u(x))", Annal. Polonici Math. 68, 177-189 (1998).Джорджадзе Г.П., Погребков А.К., Поливанов М.К. "О глобальных решениях задачи Коши для уравнения Лиувилля φtt(t,x)−φxx(t,x)=1/2mexpφ(t,x)", ДАН СССР 243 (2), 318-320 (1978).Джорджадзе Г.П., Погребков А.К., Поливанов М.К. "О глобальных решениях задачи Коши для уравнения Лиувилля φtt(t,x)−φxx(t,x)=1/2mexpφ(t,x)", ДАН СССР 243 (2), 318-320 (1978).Каримов Ш.Т. "Об одном методе решения задачи Коши для одномерного поливолнового уравнения с сингулярным оператором Бесселя", Изв. вузов. Матем. (8), 27-41 (1995).Каримов Ш.Т. "Об одном методе решения задачи Коши для одномерного поливолнового уравнения с сингулярным оператором Бесселя", Изв. вузов. Матем. (8), 27-41 (1995).Fushchych W.I., Roman O.V., Zhdanov R.Z. "Symmetry and some exact solutions of non-linear polywave equations", Europ. Lett. 31 (2), 75-79 (2007).Fushchych W.I., Roman O.V., Zhdanov R.Z. "Symmetry and some exact solutions of non-linear polywave equations", Europ. Lett. 31 (2), 75-79 (2007).Фущич В.И. Теоретико-алгебраические исследования в математической физике: Сб. научн. тр. под ред. Фущича В.И., 6-28 (Ин-т матем. АН УССР, Киев, 1981).Фущич В.И. Теоретико-алгебраические исследования в математической физике: Сб. научн. тр. под ред. Фущича В.И., 6-28 (Ин-т матем. АН УССР, Киев, 1981).Джохадзе О.М. "Cмешанная задача с нелинейным граничным условием для полулинейного уравнения колебания струны", Дифференц. уравнения 58 (5), 591-606 (2022).Джохадзе О.М. "Cмешанная задача с нелинейным граничным условием для полулинейного уравнения колебания струны", Дифференц. уравнения 58 (5), 591-606 (2022).Харибегашвили С.С., Джохадзе О.М. "О разрешимости смешанной задачи с нелинейным граничным условием для одномерного полулинейного волнового уравнения", Матем. заметки 108 (1), 137-152 (2020).Харибегашвили С.С., Джохадзе О.М. "О разрешимости смешанной задачи с нелинейным граничным условием для одномерного полулинейного волнового уравнения", Матем. заметки 108 (1), 137-152 (2020).Gilbarg D., Trudinger N.S. Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, 2nd ed. (Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 1983).Gilbarg D., Trudinger N.S. Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, 2nd ed. (Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 1983).Pachpatte B.G. Inequalities for Differential and Integral Equations (Elsevier Sci., 1998).Pachpatte B.G. Inequalities for Differential and Integral Equations (Elsevier Sci., 1998).Mitrinovi{ć} D.S, Pe{č}ari{ć} J.E., Fink A.M. Inequalities Involving Functions and Their Integrals and Derivatives (Springer Netherlands, Dordrecht, 1991).Mitrinovi{ć} D.S, Pe{č}ari{ć} J.E., Fink A.M. Inequalities Involving Functions and Their Integrals and Derivatives (Springer Netherlands, Dordrecht, 1991).Треногин В.А. Функциональный анализ, 3rd edition (ФИЗМАТЛИТ, М., 2002).Треногин В.А. Функциональный анализ, 3rd edition (ФИЗМАТЛИТ, М., 2002).Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения (БГУ, Минск, 2012).Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения (БГУ, Минск, 2012).Li D., Huang H. "Blow-up phenomena of second-order nonlinear differential equations", J. Math. Anal. Appl. 276 (1), 184-195 (2002).Li D., Huang H. "Blow-up phenomena of second-order nonlinear differential equations", J. Math. Anal. Appl. 276 (1), 184-195 (2002).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.