izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2024-2-91-99izvuzmath-53Research ArticleСтатьиТрансформационная модель динамического деформирования удлиненной пластины, консольно закрепленной на упругом опорном элементеTransformation model of the dynamic deformation of an elongated cantilever plate mounted on an elastic support elementПаймушинВ. Н.PaimushinV. N.

Виталий Николаевич Паймушинул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008

ул. К. Маркса, д. 10, г. Казань, 420111

Vitaliy Nikolaevich Paimushin18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008 Russia;10 K. Marksa str., Kazan, 420111

vpajmushin@mail.ruНуриевА. Н.NurievA. N.

Артем Наилевич Нуриев

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008

Artem Nailevich Nuriev18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008

nuriev_an@mail.ruЧумаковаС. Ф.ChumakovaS. F.

Софья Федоровна Чумаковаул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008

Sofia Fedorovna Chumakova18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008 

sfchumakova@mail.ruКазанский федеральный университет; Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева – КАИРоссияKazan Federal University; Kazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev – KAI (KNRTU–KAI)Russian FederationКазанский федеральный университетРоссияKazan Federal UniversityRussian Federation202413032024029199Copyright © Паймушин В.Н., Нуриев А.Н., Чумакова С.Ф., 20242024Паймушин В.Н., Нуриев А.Н., Чумакова С.Ф.Paimushin V.N., Nuriev A.N., Chumakova S.F.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/53

Предложена трансформационная модель динамического деформирования удлиненной ортотропной композитной пластины стержневого типа, состоящей из двух участков по длине. На незакрепленном участке оси ортотропии материала не совпадают с осями выбранной для пластины декартовой системы координат, а на закрепленном участке перемещения точек граничной поверхности контакта (жесткого соединения) с упругим опорным элементом считаются заданными (известными). Построенная модель основана на использовании для незакрепленного участка соотношений уточненной сдвиговой модели С.П. Тимошенко, составленных для стержней в геометрически нелинейном приближении без учета поперечного обжатия. Для участка, закрепленного на упругом опорном элементе, также построена одномерная сдвиговая модель деформирования с учетом поперечного обжатия, которая трансформируется в другую модель путем удовлетворения условиям кинематического сопряжения с упругим опорным элементом с заданными перемещениями точек поверхности сопряжения с пластиной. Сформулированы условия кинематического сопряжения незакрепленного и закрепленного участков пластины, при учете которых, исходя из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского, выведены для участков соответствующие уравнения движения и граничные условия, а также силовые условия сопряжения участков. Построенная модель предназначена для имитации природных процессов и структур при решении прикладных инженерных задач, направленных на разработку инновационных колебательных биомиметических движителей.

 A transformation model of the dynamic deformation of an elongated orthotropic composite rod-type plate, consisting of two sections (fastened and free) along its length, is proposed. In the free section, the orthotropic axes of the material do not coincide with the axes of the Cartesian coordinate system chosen for the plate, and in the fastened section, the displacements of points of the contact’s boundary surface (rigid connection) with the elastic support element are considered to be known. The constructed model is based on the use for the free section of the relations of the refined shear model of S.P. Timoshenko, compiled for rods in a geometrically nonlinear approximation without taking into account lateral strain deformations. For the section fastened on the elastic support element, a one-dimensional shear deformation model is constructed taking into account lateral strain deformations, which is transformed into another model by satisfying the conditions of kinematic coupling with the elastic support element with given displacements of the interface points with the plate. The conditions for the kinematic coupling of the free and fastened sections of the plate are formulated. Based on the Hamilton–Ostrogradsky variational principle, the corresponding equations of motion and boundary conditions, as well as force conditions for the coupling of sections, are derived. The constructed model is intended to simulate natural processes and structures when solving applied engineering problems aimed at developing innovative oscillatory biomimetic propulsors

удлиненная пластина стержневого типаортотропный композитный материаланизотропиянезакрепленный и закрепленный участкигеометрическая нелинейностьмодель С.П. Тимошенкоуравнения движениякинематические и силовые условия сопряжения участковfree and fixed sectionsgeometric nonlinearityS.P. Timoshenko modelequations of motionkinematic and force conditions for coupling sectionselongated rod-type plateorthotropic composite materialanisotropyРабота выполнена при финансовой поддержке РНФ, проект № 22-79-10033ReferencesЛогвинович Г.В. Гидродинамика плавания рыб, Бионика 7, 3–8 (1973).Логвинович Г.В. Гидродинамика плавания рыб, Бионика 7, 3–8 (1973).Wu T.Y.-T. Swimming of a waving plate, J. Fluid Mech. 10 (3), 321–344 (1961).Wu T.Y.-T. Swimming of a waving plate, J. Fluid Mech. 10 (3), 321–344 (1961).Wu X., Zhang X., Tian X., Li X., Lu W. A review on fluid dynamics of flapping foils, Ocean Engineering 195, article 106712 (2020).Wu X., Zhang X., Tian X., Li X., Lu W. A review on fluid dynamics of flapping foils, Ocean Engineering 195, article 106712 (2020).Siekmann J. Theoretical studies of sea animal locomotion, P. 1, Ingenieur-Archiv 31, 214–228 (1962).Siekmann J. Theoretical studies of sea animal locomotion, P. 1, Ingenieur-Archiv 31, 214–228 (1962).Nuriev A.N., Egorov A.G. Asymptotic theory of a flapping wing of a circular cross-section, J. Fluid Mech.941, article A23 (2022).Nuriev A.N., Egorov A.G. Asymptotic theory of a flapping wing of a circular cross-section, J. Fluid Mech.941, article A23 (2022).Nuriev A.N., Egorov A.G., Zaitseva O.N., Kamalutdinov A.M. Asymptotic Study of the Aerohydrodynamics of a Flapping Cylindrical Wing in the High-Frequency Approximation, Lobachevskii J. Math. 43 (8), 2250–2256 (2022).Nuriev A.N., Egorov A.G., Zaitseva O.N., Kamalutdinov A.M. Asymptotic Study of the Aerohydrodynamics of a Flapping Cylindrical Wing in the High-Frequency Approximation, Lobachevskii J. Math. 43 (8), 2250–2256 (2022).Камалутдинов А.М., Паймушин В.Н. Уточненные геометрически нелинейные уравнения движения удлиненной пластины стержневого типа, Изв. вузов. Матем. 9, 84–89 (2016).Камалутдинов А.М., Паймушин В.Н. Уточненные геометрически нелинейные уравнения движения удлиненной пластины стержневого типа, Изв. вузов. Матем. 9, 84–89 (2016).Paimushin V.N., Kamalutdinov A.M. Refined Geometrically Nonlinear and Linear Equations of Motion of an Elongated Rod-type Plate, Lobachevskii J. Math. 44 (3), 4461–4468 (2023).Paimushin V.N., Kamalutdinov A.M. Refined Geometrically Nonlinear and Linear Equations of Motion of an Elongated Rod-type Plate, Lobachevskii J. Math. 44 (3), 4461–4468 (2023).Paimushin V.N., Shalashilin V.I. Сonsistent variant of continuum deformation theory in the quadratic approximation, Dokl. Phys. 49 (6), 374–377 (2004).Paimushin V.N., Shalashilin V.I. Сonsistent variant of continuum deformation theory in the quadratic approximation, Dokl. Phys. 49 (6), 374–377 (2004).Paimushin V.N., Shalashilin V.I. On square approximations of the deformation theory and problems of constructing improved versions of geometrical non-linear theory of multylayer construction elements, J. Appl. Math. and Mech. 69 (5), 861–881 (2005).Paimushin V.N., Shalashilin V.I. On square approximations of the deformation theory and problems of constructing improved versions of geometrical non-linear theory of multylayer construction elements, J. Appl. Math. and Mech. 69 (5), 861–881 (2005).Paimushin V.N. Problems of geometric non-linearity and stability in the mechanics of thin shells and rectilinear columns, J. Appl. Math. and Mech. 71 (5), 772–805 (2007).Paimushin V.N. Problems of geometric non-linearity and stability in the mechanics of thin shells and rectilinear columns, J. Appl. Math. and Mech. 71 (5), 772–805 (2007).Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов (Машиностроение, М., 1988)Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов (Машиностроение, М., 1988)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.