izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2024-2-3-21izvuzmath-47Research ArticleСтатьиТочность неявной схемы метода конечных элементов со штрафом для нелокальной параболической задачи с препятствиемAccuracy of an implicit scheme for the finite element method with a penalty for a nonlocal parabolic obstacle problemГлазыринаО. В.GlazyrinaO. V.

Ольга Владимировна Глазыринаул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008

Olga Vladimirovna Glazyrina18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008

glazyrina-olga@yandex.ruДаутовР. З.DautovR. Z.

Рафаил Замилович Даутовул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008 

 

Rafail Zamilovich Dautov18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008

rdautov@kpfu.ruГубайдуллинаД. А.GubaidullinaD. A.

Динара Айратовна Губайдуллинаул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008

 

Dinara Airatovna Gubaidullina18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008

dinara.gubaidullina@gmail.comКазанский федеральный университетРоссияKazan Federal UniversityRussian Federation20241103202402321Copyright © Глазырина О.В., Даутов Р.З., Губайдуллина Д.А., 20242024Глазырина О.В., Даутов Р.З., Губайдуллина Д.А.Glazyrina O.V., Dautov R.Z., Gubaidullina D.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/47

Предложен и исследован численный метод на основе метода штрафа, конечных элементов и неявной схемы Эйлера для решения параболического вариационного неравенства с нелокальным пространственным оператором и односторонним ограничением на решение. Получены оценки точности приближенного решения в энергетической норме. 

 In order to solve a parabolic variational inequality with a nonlocal spatial operator and a one-sided constraint on the solution, a numerical method based on the penalty method, finite elements, and the implicit Euler scheme is proposed and studied. Optimal estimates for the accuracy of the approximate solution in the energy norm are obtained.

метод конечных элементовметод штрафапараболическое вариационное неравенствонеявная схемаоценка точностиfinite element methodpenalty methodparabolic variational inequalityimplicit schemeaccuracy estimateРабота выполнена за счет средств Программы стратегического академического лидерства Казанского (Приволжского) федерального университета ("ПРИОРИТЕТ-2030").ReferencesChipot M., Rodrigues J.-F. On a class of nonlocal nonlinear elliptic problems, ESAIM: Math. Model. and Numer. Anal. 26 (3), 447–467 (1992).Chipot M., Rodrigues J.-F. On a class of nonlocal nonlinear elliptic problems, ESAIM: Math. Model. and Numer. Anal. 26 (3), 447–467 (1992).Chipot M., Lovat B. On the Asymptotic Behaviour of Some Nonlocal Problems, Positivity 3 (1), 65–81 (1999).Chipot M., Lovat B. On the Asymptotic Behaviour of Some Nonlocal Problems, Positivity 3 (1), 65–81 (1999).Chipot M. Elements of Nonlinear Analysis (Birkh¨auser Advanced Texts, Berlin, 2000).Chipot M. Elements of Nonlinear Analysis (Birkh¨auser Advanced Texts, Berlin, 2000).Chang N.-H., Chipot M. Nonlinear nonlocal evolution problems, Rev. R. Acad. Cien. Exact. Ser. A. Mat. 97 (3), 423–445 (2003).Chang N.-H., Chipot M. Nonlinear nonlocal evolution problems, Rev. R. Acad. Cien. Exact. Ser. A. Mat. 97 (3), 423–445 (2003).Chipot M., Valente V., Caffarelli G.V. Remarks on a nonlocal problem involving the Dirichlet energy, Rendiconti del Seminario Matem. della Univ. di Padova 110, 199–220 (2003).Chipot M., Valente V., Caffarelli G.V. Remarks on a nonlocal problem involving the Dirichlet energy, Rendiconti del Seminario Matem. della Univ. di Padova 110, 199–220 (2003).Pavlova M.F. On the solvability of nonlocal nonstationary problems with double degeneration, Differ. Equat.47 (8), 1161–1175 (2011).Pavlova M.F. On the solvability of nonlocal nonstationary problems with double degeneration, Differ. Equat.47 (8), 1161–1175 (2011).Глазырина О.В., Павлова М.Ф. О единственности решения одной нелокальной нелинейной задачи с сильно монотонным по градиенту пространственным оператором, Изв. вузов. Матем. (3), 92–95 (2012).Глазырина О.В., Павлова М.Ф. О единственности решения одной нелокальной нелинейной задачи с сильно монотонным по градиенту пространственным оператором, Изв. вузов. Матем. (3), 92–95 (2012).Glazyrina O.V., Pavlova M.F. On the solvability of an evolution variational inequality with a nonlocal space operator, Differ. Equat. 50 (7), 873–887 (2014)Glazyrina O.V., Pavlova M.F. On the solvability of an evolution variational inequality with a nonlocal space operator, Differ. Equat. 50 (7), 873–887 (2014)Chaudhary S., Srivastava V., Kumar S., Srinivasan B. Finite element approximation of nonlocal parabolic problem, Numer. Methods for Partial Differ. Equat. 33 (3), 786–813 (2016).Chaudhary S., Srivastava V., Kumar S., Srinivasan B. Finite element approximation of nonlocal parabolic problem, Numer. Methods for Partial Differ. Equat. 33 (3), 786–813 (2016).Glazyrina O.V., Pavlova M.F. Study of the convergence of the finite-element method for parabolic equations with a nonlinear nonlocal spatial operator, Differ. Equat. 51 (7), 872–885 (2015).Glazyrina O.V., Pavlova M.F. Study of the convergence of the finite-element method for parabolic equations with a nonlinear nonlocal spatial operator, Differ. Equat. 51 (7), 872–885 (2015).Глазырина О.В., Павлова М.Ф. О сходимости явной разностной схемы для эволюционного вариационного неравенства с нелокальным пространственным оператором, Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. физ.- матем. науки 157 (4), 5–23 (2015).Глазырина О.В., Павлова М.Ф. О сходимости явной разностной схемы для эволюционного вариационного неравенства с нелокальным пространственным оператором, Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. физ.- матем. науки 157 (4), 5–23 (2015).Dautov R.Z., Mikheeva A.I. Exact penalty operators and regularization of parabolic variational inequalities with in obstacle inside a domain, Differ. Equat. 44 (1), 77–84 (2008).Dautov R.Z., Mikheeva A.I. Exact penalty operators and regularization of parabolic variational inequalities with in obstacle inside a domain, Differ. Equat. 44 (1), 77–84 (2008).Savar´e G. Weak Solutions and Maximal Regularity for Abstract Evolution Inequalities, Adv. Math. Sci. Appl.(6), 377–418 (1996).Savar´e G. Weak Solutions and Maximal Regularity for Abstract Evolution Inequalities, Adv. Math. Sci. Appl.(6), 377–418 (1996).Savar´e G., Nochetto R., Verdi C. A Posteriori Error Estimates for Variable Time-Step Discretizations of Nonlinear Evolution Equations, Comm. Pure Appl. Math. 53, 525–589 (2000).Savar´e G., Nochetto R., Verdi C. A Posteriori Error Estimates for Variable Time-Step Discretizations of Nonlinear Evolution Equations, Comm. Pure Appl. Math. 53, 525–589 (2000).Dautov R.Z., Mikheeva A.I. Implicit Euler scheme for an abstract evolution inequality, Differ. Equat. 47 (8), 1130–1138 (2011).Dautov R.Z., Mikheeva A.I. Implicit Euler scheme for an abstract evolution inequality, Differ. Equat. 47 (8), 1130–1138 (2011).Dautray R., Lions J.-L. Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology. V. 5. (Springer-Verlag, Berlin, 1992).Dautray R., Lions J.-L. Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology. V. 5. (Springer-Verlag, Berlin, 1992).Evans L.C. Partial Differential Equations (AMS, Providence, RI, 1998).Evans L.C. Partial Differential Equations (AMS, Providence, RI, 1998).Tabata M., Uchiumi S. A genuinely stable Lagrange–Galerkin scheme for convection-diffusion problems, Japan J. Indust. Appl. Math. 33 (1), 121–143 (2016).Tabata M., Uchiumi S. A genuinely stable Lagrange–Galerkin scheme for convection-diffusion problems, Japan J. Indust. Appl. Math. 33 (1), 121–143 (2016).Павлова М.Ф., Глазырина О.В. Теорема единственности решения эволюционного вариационного неравенства с нелокальным пространственным оператором, в сб. : Матер. X Междунар. конф. Сеточные методы для краевых задач и приложения, 205–208 (Казан. фед. ун-т, Казань, 2014).Павлова М.Ф., Глазырина О.В. Теорема единственности решения эволюционного вариационного неравенства с нелокальным пространственным оператором, в сб. : Матер. X Междунар. конф. Сеточные методы для краевых задач и приложения, 205–208 (Казан. фед. ун-т, Казань, 2014).Dautov R.Z., Lapin A.V. Approximations of Evolutionary Inequality with Lipschitz-continuous Functional and Minimally Regular Input Data, Lobachevskii J. Math. 40 (4), 425–438 (2019).Dautov R.Z., Lapin A.V. Approximations of Evolutionary Inequality with Lipschitz-continuous Functional and Minimally Regular Input Data, Lobachevskii J. Math. 40 (4), 425–438 (2019).Bramble J.H., Pasciak J.E., and Steinbach O. On the stability of the L 2 projection in H1 (Omega ), Math. Comp. 71 (237), 147–156 (2002).Bramble J.H., Pasciak J.E., and Steinbach O. On the stability of the L 2 projection in H1 (Omega ), Math. Comp. 71 (237), 147–156 (2002).Bank R.E. and Yserentant H. On the H1 -stability of the L2-projection onto finite element spaces, Numer. Math. 126, 361–381 (2014).Bank R.E. and Yserentant H. On the H1 -stability of the L2-projection onto finite element spaces, Numer. Math. 126, 361–381 (2014).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.