izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2024-1-35-49izvuzmath-41Research ArticleСтатьиАсимптотическое поведение решений неоднородного уравнения Шрёдингера на некомпактных римановых многообразияхSymptotic behavior of solutions of the inhomogeneous Schrödinger equation on noncompact Riemannian manifoldsМазепаЕ. А.MazepaE. A.

Елена Алексеевна Мазепа 

пр-т Университетский, д. 100, г. Волгоград, 400062 

Elena Alekseevna Mazepa 

100 Universitetskiy Ave., Volgograd, 400062 

elena.mazepa@volsu.ruРябошлыковаД. К.RyaboshlikovaD. K.

Дарья Константиновна Рябошлыкова 

пр-т Университетский, д. 100, г. Волгоград, 400062 

Daria Konstantinovna Ryaboshlikova 

100 Universitetskiy Ave., Volgograd, 400062 

daria_ryaboshlikova@volsu.ruВолгоградский государственный университетРоссияVolgograd State UniversityRussian Federation202412022024013549Copyright © Мазепа Е.А., Рябошлыкова Д.К., 20242024Мазепа Е.А., Рябошлыкова Д.К.Mazepa E.A., Ryaboshlikova D.K.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/41

В работе изучается поведение ограниченных решений неоднородного уравнения Шрёдингера на некомпактных римановых многообразиях при вариации правой части уравнения. Различные задачи для однородных эллиптических уравнений, в частности уравнения Лапласа–Бельтрами и стационарного уравнения Шрёдингера, рассматривались рядом российских и зарубежных авторов начиная со второй половины XX-го века. В первой части данной работы будет развит подход к постановке краевых задач, основанный на введении классов эквивалентных функций, установлена взаимосвязь разрешимости краевых задач на произвольном некомпактном римановом многообразии при вариации неоднородности. Во второй части работы, основываясь на результатах первой части, исследуются свойства решений неоднородного уравнения Шрёдингера на квазимодельных многообразиях, а также найдены точные условия однозначной разрешимости задачи Дирихле и некоторых других краевых задач на данных многообразиях.

The paper studies the behavior of bounded solutions of the inhomogeneous Schrödinger equation on non-compact Riemannian manifolds under a variation of the right side of the equation. Various problems for homogeneous elliptic equations, in particular the Laplace-Beltrami equation and the stationary Schrödinger equation, have been considered by a number of Russian and foreign authors since the second half of the 20th century. In the first part of this paper, an approach to the formulation of boundary value problems based on the introduction of classes of equivalent functions will be developed. The relationship between the solvability of boundary value problems on an arbitrary non-compact Riemannian manifold with variation of inhomogeneity is also established. In the second part of the work, based on the results of the first part, properties of solutions of the inhomogeneous Schrödinger equation on quasi-model manifolds are investigated, and exact conditions for unique solvability of the Dirichlet problem and some other boundary value problems on these manifolds are found.

неоднородное уравнение Шрёдингеракраевая задачаквазимодельное риманово многообразиеinhomogeneous Schrödinger equationboundary value problemquasi-model Reimannian manifoldReferencesGrigor’yan A. Analitic and geometric background of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds, Bull. Amer. Math. Soc. 36 (2), 135–249 (1999).Grigor’yan A. Analitic and geometric background of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds, Bull. Amer. Math. Soc. 36 (2), 135–249 (1999).Ancona A. Negative curved manifolds, elliptic operators, and the Martin boundary, Ann. Math. 125 (3), 495–536 (1987).Ancona A. Negative curved manifolds, elliptic operators, and the Martin boundary, Ann. Math. 125 (3), 495–536 (1987).Корольков С.А. О разрешимости краевых задач для стационарного уравннеия Шрёдинегра в неограниченных областях римановых многообразий, Дифференц. уравнения 51 (6), 726–732 (2015).Корольков С.А. О разрешимости краевых задач для стационарного уравннеия Шрёдинегра в неограниченных областях римановых многообразий, Дифференц. уравнения 51 (6), 726–732 (2015).Мазепа Е.А. Краевые задачи для стационарного уравнения Шрёдингера на римановых многообразиях, Сиб. матем. журн. 43 (3), 591–599 (2002).Мазепа Е.А. Краевые задачи для стационарного уравнения Шрёдингера на римановых многообразиях, Сиб. матем. журн. 43 (3), 591–599 (2002).Losev A.G., Mazepa E.A., Chebanenko V.Y. Unbounded solutions of the Stationary Shr¨odinger equation on Riemannian manifolds, Comput. Methods and Funct. Theory 3 (2), 443–451 (2003).Losev A.G., Mazepa E.A., Chebanenko V.Y. Unbounded solutions of the Stationary Shr¨odinger equation on Riemannian manifolds, Comput. Methods and Funct. Theory 3 (2), 443–451 (2003).Anderson M.T. The Dirichlet problem at infinity for manifolds of negative curvature, J. Diff. Geom. 18 (4), 701–721 (1983).Anderson M.T. The Dirichlet problem at infinity for manifolds of negative curvature, J. Diff. Geom. 18 (4), 701–721 (1983).Sullivan D. The Dirichlet problem at infinity for a negatively curved manifold, J. Diff. Geom. 18 (4), 723–732 (1983).Sullivan D. The Dirichlet problem at infinity for a negatively curved manifold, J. Diff. Geom. 18 (4), 723–732 (1983).Лосев А.Г., Мазепа Е.А. Ограниченные решения уравнения Шрёдингера на римановых произведениях, Алгебра и анализ 13 (1), 84–110 (2001).Лосев А.Г., Мазепа Е.А. Ограниченные решения уравнения Шрёдингера на римановых произведениях, Алгебра и анализ 13 (1), 84–110 (2001).Лосев А.Г., Филатов В.В. Ограниченные решения стационарного уравнения Шрёдингера с конечным интегралом энергии на модельных многообразиях, Матем. физ. и компьют. моделирование 24 (3), 5–17 (2021).Лосев А.Г., Филатов В.В. Ограниченные решения стационарного уравнения Шрёдингера с конечным интегралом энергии на модельных многообразиях, Матем. физ. и компьют. моделирование 24 (3), 5–17 (2021).Murata M. Positive harmonic functions on rotationary symmetric Riemannian manifolds, Potential Theory (Proc. Intern. Conf., Nagoya/Japan, 1992).Murata M. Positive harmonic functions on rotationary symmetric Riemannian manifolds, Potential Theory (Proc. Intern. Conf., Nagoya/Japan, 1992).Ni L., Shi Y., Tam L-F. Poisson equation, Poincare–Lelong equation and the curvature decay on complete Kahler manifolds, J. Diff. Geom. 57, 339–388 (2001).Ni L., Shi Y., Tam L-F. Poisson equation, Poincare–Lelong equation and the curvature decay on complete Kahler manifolds, J. Diff. Geom. 57, 339–388 (2001).Grigor’yan A., Verbitsky I. Pointwise estimates of solutions to semilinear elliptic equations and inequalities, J. d’Analyse Math´ematique 137 (2), 559–601 (2019).Grigor’yan A., Verbitsky I. Pointwise estimates of solutions to semilinear elliptic equations and inequalities, J. d’Analyse Math´ematique 137 (2), 559–601 (2019).Munteanu O., Sesum N. The Poisson equation on complete manifolds with positive spectrum and applications, Adv. Math. 223 (1), 198–219 (2010).Munteanu O., Sesum N. The Poisson equation on complete manifolds with positive spectrum and applications, Adv. Math. 223 (1), 198–219 (2010).Mastrolia P., Monticelly D.D., Punzo F. Elliptic and parabolic equations with Dirichlet conditions at infinity on Riemannian manifolds, Adv. Diff. Equat. 23 (1/2), 89–108 (2018).Mastrolia P., Monticelly D.D., Punzo F. Elliptic and parabolic equations with Dirichlet conditions at infinity on Riemannian manifolds, Adv. Diff. Equat. 23 (1/2), 89–108 (2018).Лосев А.Г. О разрешимости задачи Дирихле для уравнения Пуассона на некоторых некомпактных римановых многообразиях, Дифференц. уравнения 53 (12), 1643–1652 (2017).Лосев А.Г. О разрешимости задачи Дирихле для уравнения Пуассона на некоторых некомпактных римановых многообразиях, Дифференц. уравнения 53 (12), 1643–1652 (2017).Мазепа E.A. О разрешимости краевых задач для уравнения Пуассона на некомпактных римановых многообразиях, Матем. физика и компьют. моделирование 20 (3), 136–147 (2017).Мазепа E.A. О разрешимости краевых задач для уравнения Пуассона на некомпактных римановых многообразиях, Матем. физика и компьют. моделирование 20 (3), 136–147 (2017).Losev A.G., Mazepa E.A. On solvability of the boundary value problems for the inhomogeneous elliptic equations on noncompact Riemannian manifolds, Пробл. анал. Issues Anal. 7 (25), Спецвыпуск, 101–112 (2018).Losev A.G., Mazepa E.A. On solvability of the boundary value problems for the inhomogeneous elliptic equations on noncompact Riemannian manifolds, Пробл. анал. Issues Anal. 7 (25), Спецвыпуск, 101–112 (2018).Лосев А.Г., Мазепа Е.А. Ограниченные решения уравнения Шрёдингера на некомпактных римановых многообразиях специального вида, ДАН 367 (2), 166–167 (1999).Лосев А.Г., Мазепа Е.А. Ограниченные решения уравнения Шрёдингера на некомпактных римановых многообразиях специального вида, ДАН 367 (2), 166–167 (1999).Лосев А.Г., Мазепа Е.А. Об асимптотическом поведении решенеий некоторых уравнений эллиптического типа на некомпактных римановых многообразиях, Изв. вузов. Матем. (6), 41–49 (1999).Лосев А.Г., Мазепа Е.А. Об асимптотическом поведении решенеий некоторых уравнений эллиптического типа на некомпактных римановых многообразиях, Изв. вузов. Матем. (6), 41–49 (1999).Григорьян А.А., Надирашвили Н.С. Лиувиллевы теоремы и внешние краевые задачи, Изв. вузов. Матем. (5), 25–33 (1987).Григорьян А.А., Надирашвили Н.С. Лиувиллевы теоремы и внешние краевые задачи, Изв. вузов. Матем. (5), 25–33 (1987).Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка (Наука, М., 1989).Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка (Наука, М., 1989).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.