<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>
<!DOCTYPE article PUBLIC "-//NLM//DTD JATS (Z39.96) Journal Publishing DTD v1.3 20210610//EN" "JATS-journalpublishing1-3.dtd">
<article article-type="research-article" dtd-version="1.3" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xml:lang="ru"><front><journal-meta><journal-id journal-id-type="publisher-id">izvuzmath</journal-id><journal-title-group><journal-title xml:lang="ru">Известия высших учебных заведений. Математика</journal-title><trans-title-group xml:lang="en"><trans-title>Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika</trans-title></trans-title-group></journal-title-group><issn pub-type="ppub">0021-3446</issn><issn pub-type="epub">2076-4626</issn><publisher><publisher-name>Казанский (Приволжский) федеральный университет</publisher-name></publisher></journal-meta><article-meta><article-id pub-id-type="doi">10.26907/0021-3446-2026-9-79-86</article-id><article-id custom-type="elpub" pub-id-type="custom">izvuzmath-346</article-id><article-categories><subj-group subj-group-type="heading"><subject>Research Article</subject></subj-group><subj-group subj-group-type="section-heading" xml:lang="ru"><subject>Статьи</subject></subj-group></article-categories><title-group><article-title>Связанные формы колебаний стержня, описываемые моделью Тимошенко при учете инерции вращения поперечных сечений. 1. Свободные колебания</article-title><trans-title-group xml:lang="en"><trans-title>Associated vibration modes of a Timoshenko rod with rotary inertia of cross-sections. 1. Free oscillations</trans-title></trans-title-group></title-group><contrib-group><contrib contrib-type="author" corresp="yes"><name-alternatives><name name-style="eastern" xml:lang="ru"><surname>Паймушин</surname><given-names>В. Н.</given-names></name><name name-style="western" xml:lang="en"><surname>Paymushin</surname><given-names>V. N.</given-names></name></name-alternatives><bio xml:lang="ru"><p>Паймушин Виталий Николаевич.</p><p>ул. К. Маркса, д. 10, Казань, 420111</p></bio><bio xml:lang="en"><p>Vitaly N. Paimushin.</p><p>10 K. Marksa str., Kazan, 420111</p></bio><email xlink:type="simple">vpajmushin@mail.ru</email><xref ref-type="aff" rid="aff-1"/></contrib><contrib contrib-type="author" corresp="yes"><name-alternatives><name name-style="eastern" xml:lang="ru"><surname>Шишкин</surname><given-names>В. М.</given-names></name><name name-style="western" xml:lang="en"><surname>Shishkin</surname><given-names>V. M.</given-names></name></name-alternatives><bio xml:lang="ru"><p>Шишкин Виктор Михайлович.</p><p>ул. Московская, д. 36, Киров, 610000</p></bio><bio xml:lang="en"><p>Victor M. Shishkin.</p><p>36 Moskovskya str., Kirov, 610000</p></bio><email xlink:type="simple">vshishkinl951@mail.ru</email><xref ref-type="aff" rid="aff-2"/></contrib><contrib contrib-type="author" corresp="yes"><name-alternatives><name name-style="eastern" xml:lang="ru"><surname>Полякова</surname><given-names>Т. В.</given-names></name><name name-style="western" xml:lang="en"><surname>Polyakova</surname><given-names>T. V.</given-names></name></name-alternatives><bio xml:lang="ru"><p>Полякова Татьяна Витальевна.</p><p>ул. К. Маркса, д. 10, Казань, 420111</p></bio><bio xml:lang="en"><p>Tatyana V. Polyakova.</p><p>10 K. Marksa str., Kazan, 420111</p></bio><email xlink:type="simple">tancha-polakova@mail.ru</email><xref ref-type="aff" rid="aff-1"/></contrib></contrib-group><aff-alternatives id="aff-1"><aff xml:lang="ru"><institution>Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева</institution><country>Россия</country></aff><aff xml:lang="en"><institution>Kazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev - KAI</institution><country>Russian Federation</country></aff></aff-alternatives><aff-alternatives id="aff-2"><aff xml:lang="ru"><institution>Вятский государственный университет</institution><country>Россия</country></aff><aff xml:lang="en"><institution>Vyatka State University</institution><country>Russian Federation</country></aff></aff-alternatives><pub-date pub-type="collection"><year>2026</year></pub-date><pub-date pub-type="epub"><day>27</day><month>09</month><year>2026</year></pub-date><volume>0</volume><issue>9</issue><fpage>79</fpage><lpage>86</lpage><permissions><copyright-statement>Copyright &amp;#x00A9; Паймушин В.Н., Шишкин В.М., Полякова Т.В., 2026</copyright-statement><copyright-year>2026</copyright-year><copyright-holder xml:lang="ru">Паймушин В.Н., Шишкин В.М., Полякова Т.В.</copyright-holder><copyright-holder xml:lang="en">Paymushin V.N., Shishkin V.M., Polyakova T.V.</copyright-holder><license xml:lang="ru" license-type="creative-commons-attribution" xlink:href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/" xlink:type="simple"><license-p>Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.</license-p></license><license xml:lang="en" license-type="creative-commons-attribution" xlink:href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/" xlink:type="simple"><license-p>This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.</license-p></license></permissions><self-uri xlink:href="https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/346">https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/346</self-uri><abstract><p>Показано, что использование для модального анализа стержней уточненных уравнений движения, основанных на модели Тимошенко и построенных с учетом поперечного сдвига и инерции вращения поперечных сечений, позволяет выявить такой спектр собственных частот колебаний, в котором на основе каждой найденной низкочастотной моды колебаний, названной изгибно-сдвиговой, однозначно определяется связанная с ней сдвигово-изгибная мода, относящаяся к высокочастотному спектру. Предложена методика ее определения, апробированная на построении решения рассматриваемой задачи методом конечнных элементов. Исходя из анализа полученных результатов, сформулирован вывод о том, что они могут дать объяснение еще одному механизму прохождения вынужденных колебаний нагруженной консоли неразрезного двухконсольного стержня через упругий участок его закрепления к сопредельной ненагруженной консоли. Тем самым доказывается, что использование уточненных сдвиговых моделей динамического деформирования стержней, построенных при обязательном учете инерции вращения поперечных сечений, позволяет выявить, наряду с низкочастотными изгибно-сдвиговыми формами, такие связанные с ними высокочастотные формы сдвигово-изгибных колебаний, которые практически беспрепятственно проходя через деформированные закрепленные участки, могут возбуждать в примыкающих к ним (сопредельных) незакрепленных и ненагруженных участках, наряду с высокочастотными формами, также и низкочастотные формы колебаний.</p></abstract><trans-abstract xml:lang="en"><p>It is shown that the use of refined equations of motion based on the Timoshenko model and constructed taking into account the transverse shear and rotational inertia of the cross-sections for the modal analysis of rods allows us to identify a spectrum of natural frequencies of vibration in which, based on each found low-frequency mode of vibration, called the bending-shear mode, the associated shear-bending mode belonging to the high-frequency spectrum is uniquely determined. A method for its determination is proposed, tested on the construction of a solution to the problem under consideration by the finite element method. Based on the analysis of the results obtained, it is concluded that they can provide an explanation for another mechanism of passage of forced vibrations of the loaded console of an uncut double-ended rod through an elastic section of its attachment to an adjacent unloaded console. Thus, it is proved that the use of refined shear models of dynamic deformation of rods, constructed with mandatory consideration of the inertia of rotation of cross-vj;ysections, makes it possible to identify, along with low-frequency bending-shearing forms, such associated high-frequency forms of shear and bending vibrations, which, passing almost unhindered through deformed fixed sections, can excite in adjacent areas (adjacent) loose and unloaded sections, along with high-frequency forms, also low-frequency forms of vibrations.</p></trans-abstract><kwd-group xml:lang="ru"><kwd>стержень</kwd><kwd>модель Тимошенко</kwd><kwd>инерция вращения</kwd><kwd>шарнирное опирание</kwd><kwd>свободные колебания</kwd><kwd>изгибно-сдвиговая форма</kwd><kwd>сдвигово-изгибная форма</kwd></kwd-group><kwd-group xml:lang="en"><kwd>rod</kwd><kwd>Timoshenko model</kwd><kwd>rotary inertia</kwd><kwd>hinged support</kwd><kwd>free oscillations</kwd><kwd>bending-shearing form</kwd><kwd>shear-bending form</kwd></kwd-group><funding-group><funding-statement xml:lang="ru">Работа выполнена за счет средств Российского научного фонда (проект №23-19-00021-П).</funding-statement></funding-group></article-meta></front><back><ref-list><title>References</title><ref id="cit1"><label>1</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Шнайдер А.Д., Кузина А.В., Калашников В.С. Влияние внешних вибрационных воздействий на конструкцию РЭС, Совр. информ. техн. 28, 52-56 (2018).</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Шнайдер А.Д., Кузина А.В., Калашников В.С. Влияние внешних вибрационных воздействий на конструкцию РЭС, Совр. информ. техн. 28, 52-56 (2018).</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit2"><label>2</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Футин В.А., Евгеньев С.С. К расчету резонансных режимов работы рабочих колес центробежного компрессора, Изв. вузов. Авиац. техн. 1, 121-125 (2020).</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Футин В.А., Евгеньев С.С. К расчету резонансных режимов работы рабочих колес центробежного компрессора, Изв. вузов. Авиац. техн. 1, 121-125 (2020).</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit3"><label>3</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">ГОСТ 12.1.012-2004. Система стандартов безопасности труда. Вибрационная безопасность. Общие требования (ФГУП Стандартинформ, М., 2004).</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">ГОСТ 12.1.012-2004. Система стандартов безопасности труда. Вибрационная безопасность. Общие требования (ФГУП Стандартинформ, М., 2004).</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit4"><label>4</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Вербицкий А.В., Родионов Г.Л., Сидоренко А.С. Математическое моделирование вибродинамического состояния конструкций авиационных изделий в условиях их применения, Вести. Моск. авиац. ин-та 19 (1), 35-42 (2012).</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Вербицкий А.В., Родионов Г.Л., Сидоренко А.С. Математическое моделирование вибродинамического состояния конструкций авиационных изделий в условиях их применения, Вести. Моск. авиац. ин-та 19 (1), 35-42 (2012).</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit5"><label>5</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Паймушин В.Н. Плоские задачи механики прямых стержней с учетом деформируемости участков закрепления, имеющих конечную длину, Изв. вузов. Матем. (3), 89-96 (2022), DOI: 10.26907/0021-3446-2022-3-89-96.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Паймушин В.Н. Плоские задачи механики прямых стержней с учетом деформируемости участков закрепления, имеющих конечную длину, Изв. вузов. Матем. (3), 89-96 (2022), DOI: 10.26907/0021-3446-2022-3-89-96.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit6"><label>6</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Paimushin V.N., Firsov V.A., Shishkin V.M., Gazizullin R.K. Transformational deformation models of continuous thin-walled structural elements with support elements of finite sizes: Theoretical foundations, computational, and physical experiments, Z. Angew. Math. Meeh. e202300214 25, 677-686 (2023), DOI: 10.1002/zamm.202300214.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Paimushin V.N., Firsov V.A., Shishkin V.M., Gazizullin R.K. Transformational deformation models of continuous thin-walled structural elements with support elements of finite sizes: Theoretical foundations, computational, and physical experiments, Z. Angew. Math. Meeh. e202300214 25, 677-686 (2023), DOI: 10.1002/zamm.202300214.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit7"><label>7</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Паймушин B.H., Фирсов В.А., Шишкин B.M. Математическое моделирование распространения вибраций в тонкостенных каркасированных конструкциях. 2. Конечно-элементные модели и численные эксперименты, Пробл. прочности и пластичности. 84 (3), 311-330 (2022), DOI: 10.32326/1814-9146-2022-84-3-311-330.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Паймушин B.H., Фирсов В.А., Шишкин B.M. Математическое моделирование распространения вибраций в тонкостенных каркасированных конструкциях. 2. Конечно-элементные модели и численные эксперименты, Пробл. прочности и пластичности. 84 (3), 311-330 (2022), DOI: 10.32326/1814-9146-2022-84-3-311-330.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit8"><label>8</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Постнов В.А., Калинин В.С., Ростовцев Д.М. Вибрация корабля (Судостроение, Л., 1983).</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Постнов В.А., Калинин В.С., Ростовцев Д.М. Вибрация корабля (Судостроение, Л., 1983).</mixed-citation></citation-alternatives></ref></ref-list><fn-group><fn fn-type="conflict"><p>The authors declare that there are no conflicts of interest present.</p></fn></fn-group></back></article>
