izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2026-9-55-65izvuzmath-343Research ArticleСтатьиАсимптотически оптимальное моделирование изгиба пластины на упругом основании при продольно-поперечной нагрузкеAsymptotical optimal modeling of plate bending on an elastic basis under longitudinal and transverse loadingЭбельС. И.EbelS. I.

Эбель Светлана Ивановна.

пр. В.И. Ленина, д. 76, Челябинск, 454080

Svetlana I. Ebel.

76 V.I. Lenina, Chelyabinsk, 454080

ebelsi@susu.ruУшаковА. Л.UshakovA. L.

Ушаков Андрей Леонидович.

пр. В.И. Ленина, д. 76, Челябинск, 454080

Andrey L. Ushakov.

76 V.I. Lenina, Chelyabinsk, 454080

ushakoval@susu.ruЮжно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет)РоссияSouth Ural State University (National Research University)Russian Federation202627092026095565Copyright © Эбель С.И., Ушаков А.Л., 20262026Эбель С.И., Ушаков А.Л.Ebel S.I., Ushakov A.L.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/343

В данной работе для описания прогиба пластины при продольно-поперечной нагрузке, расположенной на упругом основании, используется смешанная краевая задача при обязательном наличии краевого условия Дирихле. Рассматриваемая краевая задача фиктивно продолжается через границу с условием Дирихле, а затем используется аппроксимация продолженной задачи методом конечных элементов. Численное решение продолженной задачи итерационно приближается численными решениями расширенных задач. Применяемый метод итерационных расширений является асимптотически оптимальным при численном решении исходной задачи, т. е. имеет не улучшаемую асимптотику по количеству операций.

In this paper, we use a mixed boundary-value problem to describe the deflection of a plate under longitudinal and transverse loading located on an elastic basis, with the mandatory presence of a Dirichlet boundary condition. We fictitiously continue the boundary-value problem across the boundary with a Dirichlet condition and then approximate the continued problem using the finite element method. The numerical solution to the continued problem is iteratively approximated through numerical solutions to extended problems. The iterative extension method is asymptotically optimal for numerically solving the original problem, meaning it has unimproved asymptotic performance in terms of computation time.

изгиб пластины при продольно-поперечной нагрузкеметод итерационных расширенийplate bending under longitudinal-transverse loaditerative expansion methodReferencesАстраханцев Г.П. Метод фиктивных областей для эллиптического уравнения второго порядка с естественными граничными условиями, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 18 (1), 118-125 (1978).Астраханцев Г.П. Метод фиктивных областей для эллиптического уравнения второго порядка с естественными граничными условиями, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 18 (1), 118-125 (1978).Дьяконов Е.Г. Минимизация вычислительной работы. Асимптотически оптимальные алгоритмы для эллиптических задач (Наука, М., 1989).Дьяконов Е.Г. Минимизация вычислительной работы. Асимптотически оптимальные алгоритмы для эллиптических задач (Наука, М., 1989).Капорин И.Е., Николаев Е.С. Метод фиктивных неизвестных для решения разностных эллиптических краевых задач в нерегулярных областях, Дифференц. уравнения 16 (7), 1211-1225 (1980).Капорин И.Е., Николаев Е.С. Метод фиктивных неизвестных для решения разностных эллиптических краевых задач в нерегулярных областях, Дифференц. уравнения 16 (7), 1211-1225 (1980).Капорин И.Е., Николаев Е.С. Метод фиктивных неизвестных для решения разностных уравнений эллиптического типа в областях сложной формы, Докл. АН СССР 251 (3), 544-548 (1980).Капорин И.Е., Николаев Е.С. Метод фиктивных неизвестных для решения разностных уравнений эллиптического типа в областях сложной формы, Докл. АН СССР 251 (3), 544-548 (1980).Мацокин А.М. Метод фиктивных компонент и модифицированный разностный аналог метода Шварца, Вычислительные методы линейной алгебры: сб. науч. тр., Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 66-77 (1980).Мацокин А.М. Метод фиктивных компонент и модифицированный разностный аналог метода Шварца, Вычислительные методы линейной алгебры: сб. науч. тр., Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 66-77 (1980).Bank R.E., Rose D.J. Marching algorithms for elliptic boundary value problems, SIAM, J. Numer. Anal. 14 (5), 792-829 (1977).Bank R.E., Rose D.J. Marching algorithms for elliptic boundary value problems, SIAM, J. Numer. Anal. 14 (5), 792-829 (1977).Мацокин A.M., Непомнящих С.В. Метод фиктивного пространства и явные операторы продолжения, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 33 (1), 52-68 (1993).Мацокин A.M., Непомнящих С.В. Метод фиктивного пространства и явные операторы продолжения, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 33 (1), 52-68 (1993).Сорокин С.В. Переобусловливание при численном решении задачи Дирихле для бигармонического уравнения, Сиб. журн. вычисл. матем. 14 (2), 205-213 (2011).Сорокин С.В. Переобусловливание при численном решении задачи Дирихле для бигармонического уравнения, Сиб. журн. вычисл. матем. 14 (2), 205-213 (2011).Сорокин С.В. Аналитическое решение обобщенной спектральной задачи в методе пересчета граничных условий для бигармонического уравнения, Сиб. журн. вычисл. матем. 16 (3), 267-274 (2013).Сорокин С.В. Аналитическое решение обобщенной спектральной задачи в методе пересчета граничных условий для бигармонического уравнения, Сиб. журн. вычисл. матем. 16 (3), 267-274 (2013).Сорокин С.В. Точные константы энергетической эквивалентности в методе пересчета граничных условий для бигармонического уравнения, Вести. НГУ. Сер. Матем., Механ., Информ. 13 (3), 113-121 (2013).Сорокин С.В. Точные константы энергетической эквивалентности в методе пересчета граничных условий для бигармонического уравнения, Вести. НГУ. Сер. Матем., Механ., Информ. 13 (3), 113-121 (2013).Ushakov A.L., Zagrebina S.A., Aliukov S.V., Alabugin A.A., Osintsev K.V. A Review of Mathematical Models of Elasticity Theory Based on the Methods of Iterative Factorizations and Fictitious Components, Mathematics 11 (2), article 420, 17 (2023).Ushakov A.L., Zagrebina S.A., Aliukov S.V., Alabugin A.A., Osintsev K.V. A Review of Mathematical Models of Elasticity Theory Based on the Methods of Iterative Factorizations and Fictitious Components, Mathematics 11 (2), article 420, 17 (2023).Ushakov A.L. Research of the boundary value problem for the Sophie Germain Equationinin in a cyber-physical system, Studies Syst., Decision Control (Springer) 338, 51-63 (2021).Ushakov A.L. Research of the boundary value problem for the Sophie Germain Equationinin in a cyber-physical system, Studies Syst., Decision Control (Springer) 338, 51-63 (2021).Ушаков А.Л. Исследование смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона, Матер. 2020 Международн. российской конф, по автоматизации (Rus Auto Con), 273-278 (Сочи, 2020).Ушаков А.Л. Исследование смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона, Матер. 2020 Международн. российской конф, по автоматизации (Rus Auto Con), 273-278 (Сочи, 2020).Ушаков А.Л. О моделировании деформаций пластин, Вести. ЮУрГУ. Сер. Матем. модел. програм. 8 (2), 138-142 (2015).Ушаков А.Л. О моделировании деформаций пластин, Вести. ЮУрГУ. Сер. Матем. модел. програм. 8 (2), 138-142 (2015).Ushakov A.L., Meltsaykin Е.А. Analysis of biharmonic and harmonic models by the methods of iterative extensions, Вести. ЮУрГУ. Сер. Матем. модел. програм. 15 (3), 51-66 (2022).Ushakov A.L., Meltsaykin Е.А. Analysis of biharmonic and harmonic models by the methods of iterative extensions, Вести. ЮУрГУ. Сер. Матем. модел. програм. 15 (3), 51-66 (2022).Ushakov A.L., Aliukov S.V., Meltsaykin Е.А., Eremchuk M.P. Analysis of Shielded Harmonic and Biharmonic Systems by the Iterative Extension Method, Mathematics 12 (6), article 918, 15 (2023).Ushakov A.L., Aliukov S.V., Meltsaykin Е.А., Eremchuk M.P. Analysis of Shielded Harmonic and Biharmonic Systems by the Iterative Extension Method, Mathematics 12 (6), article 918, 15 (2023).Алгазин С.Д, Соловьев Г.Х. О быстром решении основной бигармонической проблемы, Труды МАИ (108), 15 (2019).Алгазин С.Д, Соловьев Г.Х. О быстром решении основной бигармонической проблемы, Труды МАИ (108), 15 (2019).Беллман Р., Энджел Э. Динамическое программирование и уравнения в частных производных (Мир, М., 1974).Беллман Р., Энджел Э. Динамическое программирование и уравнения в частных производных (Мир, М., 1974).Гловинский Р., Пиронно О. О применении “квазипрямого” метода и итерационных методов к решению задачи Дирихле для бигармонического оператора при смешанной аппроксимации конечными элементами в сб. Вычисл. методы в математической физике, геофизике и оптимальном управлении (Наука, Новосибирск, 1978).Гловинский Р., Пиронно О. О применении “квазипрямого” метода и итерационных методов к решению задачи Дирихле для бигармонического оператора при смешанной аппроксимации конечными элементами в сб. Вычисл. методы в математической физике, геофизике и оптимальном управлении (Наука, Новосибирск, 1978).Ряжских В.И., Слюсарев М.И., Попов М.И. Численное интегрирование бигармонического уравнения в квадратной области, Вести. С.-Петербургск. ун-та. Сер. 10. Прикл. матем. Информ. Проц, управления (1), 52-62 (2013).Ряжских В.И., Слюсарев М.И., Попов М.И. Численное интегрирование бигармонического уравнения в квадратной области, Вести. С.-Петербургск. ун-та. Сер. 10. Прикл. матем. Информ. Проц, управления (1), 52-62 (2013).Анучина И.И., Бабенко К.И., Годунов С.К. и др. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики (Наука, М., 1979).Анучина И.И., Бабенко К.И., Годунов С.К. и др. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики (Наука, М., 1979).Meleshko V.V. Selected topics in the history of the two-dimesional biharmonic problem, Appl. Meeh. Rev. 56 (1), 33-85 (2003).Meleshko V.V. Selected topics in the history of the two-dimesional biharmonic problem, Appl. Meeh. Rev. 56 (1), 33-85 (2003).Оганесян Л.А., Руховец Л.А Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений (Изд-во АН АрмССР, Ереван, 1979).Оганесян Л.А., Руховец Л.А Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений (Изд-во АН АрмССР, Ереван, 1979).Обэн Ж.И. Приближённое решение эллиптических краевых задач (Мир, М., 1977).Обэн Ж.И. Приближённое решение эллиптических краевых задач (Мир, М., 1977).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.