izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2026-5-31-50izvuzmath-302Research ArticleСтатьиОб одной теореме типа Фрагмена–Линделефа для бигармонических функцийAbout some Phragmen-Lindelof type theorems for biharmonic functionsАшуроваЗ. Р.AshurovaZ. R.

Зебинисо Рахимовна Ашурова

Университетский бульв., д. 15, г. Самарканд, 140100

Zebiniso Rakhimovna Ashurova

15 University blvd., Samarkand, 140100

zebl957niso@gmail.comЖураеваН. Ю.JuraevaN. Yu.

Нодира Юнусовна Жураева

пр. Амира Темура, д. 108, г. Ташкент, 100084, 

ул. Абдуллы Кадыри, д. 11, г. Ташкент, 100011

Nodira Yunusovna Juraeva

108 Amir Temur Ave., Tashkent, 100084,

11 Abdulla Qodiri str., Tashkent, 100011

nodira8181@mail.ruЖураеваУ. Ю.JuraevaU. Yu.

Умидахон Юнусалиевна Жураева

Университетский бульв., д. 15, г. Самарканд, 140100

Umidakhon Yunusalievna Juraeva

15 University blvd., Samarkand, 140100

umida_9202@mail.ruСамаркандский государственный университет им. Шарофа РашидоваУзбекистанSamarkand State University named after Sharof RashidovUzbekistanТашкентский университет информационных технологий им. Мухаммада ал-Хоразмий; Международная исламская академия УзбекистанаУзбекистанTashkent University of Information Technologies named after Muhammad al-Khwarizmi; International Islamic Academy of UzbekistanUzbekistan202607062026053150Copyright © Ашурова З.Р., Жураева Н.Ю., Жураева У.Ю., 20262026Ашурова З.Р., Жураева Н.Ю., Жураева У.Ю.Ashurova Z.R., Juraeva N.Y., Juraeva U.Y.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/302

Работа посвящена теореме типа Фрагмена-Линделефа для бигармонических функ­ций, полученной с использованием формул типа Карлемана. Доказывается интегральное представление для бигармонических функций. При помощи этого интегрального представ­ления получаются некоторые свойства: оценка роста, теорема типа Фрагмена-Линделефа для бигармонических функций определенного класса.

The work is devoted to a Phragmen-Lindelof theorem for biharmonic functions, which is obtained using Carleman-type formulas. An integral representation for biharmonic functions is established. By means of this integral representation, several properties are obtained, including a growth estimate and a Phragmen-Lindelof -type theorem for a certain class of biharmonic functions.

теорема типа Фрагмена-Линделефабигармоническая функцияфункция Карлеманаинтегральное представлениеPhragmen-Lindelof-type theorembiharmonic functionCarleman functionintegral representationReferencesPhragmen E., Lindelof E. Sur une extension d’un principe classique de l’analyse et sur quelques propri´et´es des fonctions monog`enes dans le voisinage d’un point singulier, Acta Math. 31, 381–406 (1908), DOI: 10.1007/BF02415450.Phragmen E., Lindelof E. Sur une extension d’un principe classique de l’analyse et sur quelques propri´et´es des fonctions monog`enes dans le voisinage d’un point singulier, Acta Math. 31, 381–406 (1908), DOI: 10.1007/BF02415450.Ahlfors L. On Phragm´en–Lindel¨of ’s principle, Trans. Amer. Math. Soc. 41 (1), 1–8 (1937).Ahlfors L. On Phragm´en–Lindel¨of ’s principle, Trans. Amer. Math. Soc. 41 (1), 1–8 (1937).Gilbarg D. The Phragmen–Lindelof theorem for elliptic partial differential equations, J. Rational Mech. Anal. 1, 411–417 (1952).Gilbarg D. The Phragmen–Lindelof theorem for elliptic partial differential equations, J. Rational Mech. Anal. 1, 411–417 (1952).Serrin J.B. On the Phragm´en–Lindel¨of principle for elliptic differential equations, J. Rational Mech. Anal. 3, 395–413 (1954).Serrin J.B. On the Phragm´en–Lindel¨of principle for elliptic differential equations, J. Rational Mech. Anal. 3, 395–413 (1954).Kurta V.V. Phragm´en–Lindel¨of theorems for second-order quasilinear elliptic equations, Ukr. Math. J. 44 (10), 1262–1268 (1992).Kurta V.V. Phragm´en–Lindel¨of theorems for second-order quasilinear elliptic equations, Ukr. Math. J. 44 (10), 1262–1268 (1992).Jin Z., Lancaster K. Theorems of Phragm`en–Lindel¨of type for quasilinear elliptic equations, J. Reine Angew. Math. 514, 165–197 (1999).Jin Z., Lancaster K. Theorems of Phragm`en–Lindel¨of type for quasilinear elliptic equations, J. Reine Angew. Math. 514, 165–197 (1999).Jin Z., Lancaster K. Phragmen–Lindel¨of theorems and the asymptotic behaviour of solutions of quasilinear elliptic equations in slabs, Proc. Royal Soc. Edinburgh: Sect. A: Math. 130 (2), 335–373 (2000).Jin Z., Lancaster K. Phragmen–Lindel¨of theorems and the asymptotic behaviour of solutions of quasilinear elliptic equations in slabs, Proc. Royal Soc. Edinburgh: Sect. A: Math. 130 (2), 335–373 (2000).Jin Z., Lancaster K. A Phragm`en–Lindel¨of theorem and the behavior at infinity of solutions of non-hyperbolic equation, Pacific J. Math. 211 (1), 101–121 (2003).Jin Z., Lancaster K. A Phragm`en–Lindel¨of theorem and the behavior at infinity of solutions of non-hyperbolic equation, Pacific J. Math. 211 (1), 101–121 (2003).Capuzzo D., Vitolo A. A qualitative Phragm`en–Lindel¨of theorem for fully nonlinear elliptic equations ´ , Diff. Equat. 243 (2), 578–592 (2007).Capuzzo D., Vitolo A. A qualitative Phragm`en–Lindel¨of theorem for fully nonlinear elliptic equations ´ , Diff. Equat. 243 (2), 578–592 (2007).Armstrong S.N., Sirakov B., Smart C.K. Singular solutions of fully nonlinear elliptic equations and applications, Arch. Ration. Mech. Anal. 205 (2), 345–394 (2012).Armstrong S.N., Sirakov B., Smart C.K. Singular solutions of fully nonlinear elliptic equations and applications, Arch. Ration. Mech. Anal. 205 (2), 345–394 (2012).Adamowicz T. Phragm´en–Lindel¨of theorems for equations with nonstandard growth, Nonlinear Anal.: Theory, Methods Appl. 97, 169–184 (2014).Adamowicz T. Phragm´en–Lindel¨of theorems for equations with nonstandard growth, Nonlinear Anal.: Theory, Methods Appl. 97, 169–184 (2014).Bhattacharya T. On the behaviour of infty -harmonic functions on some special unbounded domains, Pacific J. Math. 219 (2), 237–253 (2005).Bhattacharya T. On the behaviour of infty -harmonic functions on some special unbounded domains, Pacific J. Math. 219 (2), 237–253 (2005).Granlund S., Marola N. Phragm´en–Lindel¨of theorem for infinity harmonic functions, Commun. Pure Appl. Anal 14 (1), 127–132 (2014).Granlund S., Marola N. Phragm´en–Lindel¨of theorem for infinity harmonic functions, Commun. Pure Appl. Anal 14 (1), 127–132 (2014).Almefleh H., Lancaster K. Phragmen–Lindelof theorems in cylinders, Proc. Royal Soc. Edinburgh: Sect. A math. 135 (3), 439–459 (2005).Almefleh H., Lancaster K. Phragmen–Lindelof theorems in cylinders, Proc. Royal Soc. Edinburgh: Sect. A math. 135 (3), 439–459 (2005).Almefleh H., Alahmad R. Pragmen–Lindel¨of type theorem at infinity, Internat. J. Math. Comput. Sci. 17 (1), 331–343 (2022).Almefleh H., Alahmad R. Pragmen–Lindel¨of type theorem at infinity, Internat. J. Math. Comput. Sci. 17 (1), 331–343 (2022).Евграфов М.А., Чегис И.А. Обобщение теоремы Фрагмена–Линделефа для аналитических функций на гармонические функции в пространстве, Докл. АН СССP 134 (2), 252–262 (1960).Евграфов М.А., Чегис И.А. Обобщение теоремы Фрагмена–Линделефа для аналитических функций на гармонические функции в пространстве, Докл. АН СССP 134 (2), 252–262 (1960).Чегис И.А. Теорема типа Фрагмена–Линделефа для гармонических функций в прямоугольном цилиндре, Докл. АН СССP 136 (3), 556–559 (1961).Чегис И.А. Теорема типа Фрагмена–Линделефа для гармонических функций в прямоугольном цилиндре, Докл. АН СССP 136 (3), 556–559 (1961).Леонтьев А.Ф. О теоремах типа Фрагмена–Линделефа для гармонических функций в цилиндре, Изв. АН СССР. Сер.матем 27 (3), 661–676 (1963).Леонтьев А.Ф. О теоремах типа Фрагмена–Линделефа для гармонических функций в цилиндре, Изв. АН СССР. Сер.матем 27 (3), 661–676 (1963).Аршон И.С., Евграфов М.А. О росте функций, гармонических в цилиндре и ограниченных на его поверхности вместе с нормальной производной, Докл. АН СССP 142 (4), 762–765 (1962).Аршон И.С., Евграфов М.А. О росте функций, гармонических в цилиндре и ограниченных на его поверхности вместе с нормальной производной, Докл. АН СССP 142 (4), 762–765 (1962).Аршон И.С., Евграфов М.А. Пример гармонической во всем пространстве функции, ограниченной вне круглого цилиндра, Докл. АН СССP 143 (1), 231–234 (1962).Аршон И.С., Евграфов М.А. Пример гармонической во всем пространстве функции, ограниченной вне круглого цилиндра, Докл. АН СССP 143 (1), 231–234 (1962).Аршон И.С., Евграфов М.А. О росте гармонических функций трех переменных, Докл. АН СССP 147 (4), 755–757 (1962).Аршон И.С., Евграфов М.А. О росте гармонических функций трех переменных, Докл. АН СССP 147 (4), 755–757 (1962).Ярмухамедов Ш.Я. Задача Коши для полигармонического уравнения, Докл. РАН 388 (2), 162–165 (2003).Ярмухамедов Ш.Я. Задача Коши для полигармонического уравнения, Докл. РАН 388 (2), 162–165 (2003).Ашурова З.Р., Жураева Н.Ю., Жураева У.Ю. О некоторых свойствах ядро Ярмухамедова, Internat. J. Innovative Res. (10), 84–90 (2021).Ашурова З.Р., Жураева Н.Ю., Жураева У.Ю. О некоторых свойствах ядро Ярмухамедова, Internat. J. Innovative Res. (10), 84–90 (2021).Ashurova Z.R., Jurayeva N.YU., Jurayeva U.Yu. Growing Polyharmonic functions and Cauchy problem, J. Critical Rev. 7, 371–378 (2020), DOI: 10.31938.jcr.07.06.62.Ashurova Z.R., Jurayeva N.YU., Jurayeva U.Yu. Growing Polyharmonic functions and Cauchy problem, J. Critical Rev. 7, 371–378 (2020), DOI: 10.31938.jcr.07.06.62.Ashurova Z.R., Jurayeva N.YU., Jurayeva U.Yu. Task Cauchy and Carleman function, Academicia: Internat. Multidisciplinary Res. J. Kurukshetra Univ. India 10, 371–378 (2020), URL : http://saarj.com.Ashurova Z.R., Jurayeva N.YU., Jurayeva U.Yu. Task Cauchy and Carleman function, Academicia: Internat. Multidisciplinary Res. J. Kurukshetra Univ. India 10, 371–378 (2020), URL : http://saarj.com.Ашурова З.Р. Теоремы типа Фрагмена–Линделефа для гармонических функций многих переменных, ДАН УзСССР (5), 6–8 (1990).Ашурова З.Р. Теоремы типа Фрагмена–Линделефа для гармонических функций многих переменных, ДАН УзСССР (5), 6–8 (1990).Жураева У.Ю. Теоремы типа Фрагмена–Линделефа для бигармонических функций, Изв. вузов. Матем. (10), 42–65 (2022).Жураева У.Ю. Теоремы типа Фрагмена–Линделефа для бигармонических функций, Изв. вузов. Матем. (10), 42–65 (2022).Juraeva U.Yu. The Phragmen-Lindelof type theorems, Uzbek Math. J. 66 (3), 54–61 (2022,), DOI: 10.29229/uzmj.2022-3-7.Juraeva U.Yu. The Phragmen-Lindelof type theorems, Uzbek Math. J. 66 (3), 54–61 (2022,), DOI: 10.29229/uzmj.2022-3-7.Juraeva U.Yu. Phragm´en–Lindel¨of Type Theorems, Part. Diff. Equat. 60 (8), 1042–1055 (2024), DOI: 10.1134/S0012266124080056.Juraeva U.Yu. Phragm´en–Lindel¨of Type Theorems, Part. Diff. Equat. 60 (8), 1042–1055 (2024), DOI: 10.1134/S0012266124080056.Жураева Н.Ю., Жураева У.Ю., Саидов У.М. Функция Карлемана для полигармонических функций для некоторых областей, лежащих в m-мерном четном евклидовом пространстве, Uzbek Math. J. 3, 64–68 (2011).Жураева Н.Ю., Жураева У.Ю., Саидов У.М. Функция Карлемана для полигармонических функций для некоторых областей, лежащих в m-мерном четном евклидовом пространстве, Uzbek Math. J. 3, 64–68 (2011).Голузин Г.М., Крылов В.И. Обобщенная формула Carleman’a и приложение ее к аналитическому продолжению функций, Матем. сб. 40 (2), 144–149 (1933).Голузин Г.М., Крылов В.И. Обобщенная формула Carleman’a и приложение ее к аналитическому продолжению функций, Матем. сб. 40 (2), 144–149 (1933).Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач, Докл. АН СССР 39 (5), 195–198 (1943).Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач, Докл. АН СССР 39 (5), 195–198 (1943).Лаврентьев М.М., Романов В.Г. Некорректные задачи математической физики и анализа (Наука, М., 1990).Лаврентьев М.М., Романов В.Г. Некорректные задачи математической физики и анализа (Наука, М., 1990).Ярмухамедов Ш.Я. Формула Грина в бесконечной области и ее применение, Докл. АН СССР 285 (2), 305–308 (1985).Ярмухамедов Ш.Я. Формула Грина в бесконечной области и ее применение, Докл. АН СССР 285 (2), 305–308 (1985).Хасанов А.Б., Турсунов Ф.Р. О задаче Коши для уравнения Лапласа, Уфимск. матем. журн. 11 (4), 92–106 (2019).Хасанов А.Б., Турсунов Ф.Р. О задаче Коши для уравнения Лапласа, Уфимск. матем. журн. 11 (4), 92–106 (2019).Хасанов А.Б., Турсунов Ф.Р. Задача Коши для трехмерного уравнения Лапласа, Изв. вузов. Матем. (2), 56–73 (2021).Хасанов А.Б., Турсунов Ф.Р. Задача Коши для трехмерного уравнения Лапласа, Изв. вузов. Матем. (2), 56–73 (2021).Векуа И.Н. Комплексное представление решений эллиптических дифференциальных уравнений и его приложений к граничным задачам, Тр. Тбилисск. матем. ин-та (7), 161–173 (1939).Векуа И.Н. Комплексное представление решений эллиптических дифференциальных уравнений и его приложений к граничным задачам, Тр. Тбилисск. матем. ин-та (7), 161–173 (1939).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.