izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2023-12-17-38izvuzmath-30Research ArticleСтатьиОбобщенное интегрирование по неспрямляемым плоским кривым и краевые задачиGeneralized integration over non-recifiable flat curves and boundary value problemsКацД. Б.KatzD. B.

Давид Борисович Кацул. Большая Семеновская, д. 38, г. Москва, 107023

David Borisovich Katz38 Bolshaya Semenovskaya str., Moscow, 107023

katzdavid89@gmail.comМосковский политехнический университетРоссияMoscow Polytechnical UniversityRussian Federation2023231220231121738Copyright © Кац Д.Б., 20232023Кац Д.Б.Katz D.B.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/30

В обзоре обсуждаются две тесно связанные между собой проблемы: решение краевой задачи Римана для аналитических функций и некоторых их обобщений в областях комплексной плоскости с неспрямляемыми границами, и построение обобщения криволинейного интеграла на неспрямляемые кривые, сохраняющего важные для комплексного анализа свойства.

Данная работа отражает современное состояние вопроса, и многие приведенные в ней результаты получены совсем недавно. В конце статьи вниманию читателей предлагается ряд нерешенных проблем, каждая из которых может служить исходным пунктом научного исследования. 

The review discusses two closely related problems: the solution of the Riemann boundary value problem for analytic functions and some of their generalizations in areas of the complex plane with non-rectifiable boundaries, and the construction of a generalization of the curvilinear integral to non-rectifiable curves that preserves properties important for complex analysis. This work reflects the current state of the issue, and many of the results presented in it were obtained quite recently. At the end of the article, readers are offered a number of unsolved problems, each of which can serve as a starting point for scientific research. 

краевая задача Римананеспрямляемая криваяконтурный интегралRiemann boundary-value problemnon-rectifiable curvecurvilinear integralРабота выполнена за счет гранта Российского научного фонда № 22-71-10094 (https://rscf.ru/project/22-71-10094/).ReferencesГахов Ф.Д. Краевые задачи (Наука, М., 1977).Гахов Ф.Д. Краевые задачи (Наука, М., 1977).Мусхелишвили H.И. Сингулярные интегральные уравнения, 2-е изд. (Физматлит, М., 1962).Мусхелишвили H.И. Сингулярные интегральные уравнения, 2-е изд. (Физматлит, М., 1962).Гахов Ф.В., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки (Наука, М., 1978).Гахов Ф.В., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки (Наука, М., 1978).Говоров Н.В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом (Наука, М., 1986).Говоров Н.В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом (Наука, М., 1986).Данилюк И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости (Наука, М., 1975).Данилюк И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости (Наука, М., 1975).Коэн Дж., Боксма О. Граничные задачи в теории массового обслуживания (Мир, М., 1987).Коэн Дж., Боксма О. Граничные задачи в теории массового обслуживания (Мир, М., 1987).Литвинчук Г.С. Краевые задачи и снгулярные интегральне уравнения со сдвигом (Наука, М., 1977).Литвинчук Г.С. Краевые задачи и снгулярные интегральне уравнения со сдвигом (Наука, М., 1977).Литвинчук Г.С., Спитковский И.М. Факторизация матриц-функций, 1984, Деп. № 2410–84 в ВИНИТИ, М., 1984.Литвинчук Г.С., Спитковский И.М. Факторизация матриц-функций, 1984, Деп. № 2410–84 в ВИНИТИ, М., 1984.Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. Краевая задача Гильберта теории аналитических функций и ее приложения (Изд. центр КГУ, Казань, 2005).Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. Краевая задача Гильберта теории аналитических функций и ее приложения (Изд. центр КГУ, Казань, 2005).Солдатов А.П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций (Высш. шк., М., 1991).Солдатов А.П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций (Высш. шк., М., 1991).Чибрикова Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций (Изд-во Казанск. ун-та, Казань, 1977).Чибрикова Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций (Изд-во Казанск. ун-та, Казань, 1977).Cai Hai-Tao and Lu Jian-Ke Mathematical theory in periodic plane elasticity, V. 4. Asian Math. Ser. Singapore: Overseas Publ. Association (2010).Cai Hai-Tao and Lu Jian-Ke Mathematical theory in periodic plane elasticity, V. 4. Asian Math. Ser. Singapore: Overseas Publ. Association (2010).Deift P. Orthogonal Polynomials and Random Matrices: A Riemann–Hilbert Approach, Courant Lecture Notes, V. 3, New York Univ., 1999.Deift P. Orthogonal Polynomials and Random Matrices: A Riemann–Hilbert Approach, Courant Lecture Notes, V. 3, New York Univ., 1999.Fokas A.S., Its A.R., Kapaev A.A., Novokshenov V.Y. Painlev´e Transcendents: The Riemann–Hilbert Approach 128 (AMS, Providence R.I., 2006).Fokas A.S., Its A.R., Kapaev A.A., Novokshenov V.Y. Painlev´e Transcendents: The Riemann–Hilbert Approach 128 (AMS, Providence R.I., 2006).Lu Jian-Ke Boundary Value Problems for Analytic Functions (World Scientific, 1993).Lu Jian-Ke Boundary Value Problems for Analytic Functions (World Scientific, 1993).Su Weiyi Harmonic Analysis and Fractal Analysis over Fields and Applications (New Jersey, World Scientific, 2016).Su Weiyi Harmonic Analysis and Fractal Analysis over Fields and Applications (New Jersey, World Scientific, 2016).Trogdon T., Olver S.R. Riemann–Hilbert Problems, Their Numerical Solution, and the Computation of Nonlinear Special Functions (Philadelphia, SIAM, 2016).Trogdon T., Olver S.R. Riemann–Hilbert Problems, Their Numerical Solution, and the Computation of Nonlinear Special Functions (Philadelphia, SIAM, 2016).Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными I. Теория распределений и анализ Фурье (Мир, М., 1986).Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными I. Теория распределений и анализ Фурье (Мир, М., 1986).Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций (Мир, М., 1973).Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций (Мир, М., 1973).Falconer K.J. Fractal geometry (Wiley and Sons, 3rd ed., 2014).Falconer K.J. Fractal geometry (Wiley and Sons, 3rd ed., 2014).Tricot C. Curves and Fractal Dimension (Springer-Verlag, New York, 1995).Tricot C. Curves and Fractal Dimension (Springer-Verlag, New York, 1995).Кац Б.А. Задача Римана на замкнутой жордановой кривой, Изв. вуз. Матем. (4), 68–80 (1983).Кац Б.А. Задача Римана на замкнутой жордановой кривой, Изв. вуз. Матем. (4), 68–80 (1983).Кац Д.Б. О некоторых новых метрических характеристиках неспрямляемых кривых и их приложениях, Тр. матем. центра им. Н.И. Лобачевского 46, 235–236 (2013).Кац Д.Б. О некоторых новых метрических характеристиках неспрямляемых кривых и их приложениях, Тр. матем. центра им. Н.И. Лобачевского 46, 235–236 (2013).Маркушевич А.И. Избранные главы теории аналитических функций (Наука, М., 1976).Маркушевич А.И. Избранные главы теории аналитических функций (Наука, М., 1976).Долженко Е.П., О «стирании» особенностей аналитических функций, Успехи матем. наук 18 (4) 135–142 (1963).Долженко Е.П., О «стирании» особенностей аналитических функций, Успехи матем. наук 18 (4) 135–142 (1963).Векуа И.Н. Обобщенные аналитические фукции (Наука, М., 1988).Векуа И.Н. Обобщенные аналитические фукции (Наука, М., 1988).Gehring F.W., Hayman W.K. and Hinkkanen A. Analytic functions satisfying H¨older conditions on the boundary, J. Approx. Theory 35 (3), 243–249 (1982).Gehring F.W., Hayman W.K. and Hinkkanen A. Analytic functions satisfying H¨older conditions on the boundary, J. Approx. Theory 35 (3), 243–249 (1982).Кац Б.А. Задача Римана на разомкнутой жордановой кривой, Изв. вузов. Матем. (12), 30–38 (1983).Кац Б.А. Задача Римана на разомкнутой жордановой кривой, Изв. вузов. Матем. (12), 30–38 (1983).Балк М.Б. Полианалитические функции и их обобщения, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления 85, ВИНИТИ, М., 187–246 (1991).Балк М.Б. Полианалитические функции и их обобщения, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления 85, ВИНИТИ, М., 187–246 (1991).Katz D.B. and Kats B.A. Non-rectifiable Riemann boundary value problem for bi-analytic functions, Complex Variables and Elliptic Equat., 66 (5), 843–852 (2021).Katz D.B. and Kats B.A. Non-rectifiable Riemann boundary value problem for bi-analytic functions, Complex Variables and Elliptic Equat., 66 (5), 843–852 (2021).Bojarski B. Old and New on Beltrami Equations, In: Functional analytic methods in complex analysis and applications to partial differential equations (Proceedings of the ICTP, Trieste, Italy, Feb, 8–19, 1988).Bojarski B. Old and New on Beltrami Equations, In: Functional analytic methods in complex analysis and applications to partial differential equations (Proceedings of the ICTP, Trieste, Italy, Feb, 8–19, 1988).Iwaniec T. and Martin G. What’s new for the Beltrami equation? In: Geometric Analysis and Applications. Proc. Centre Math. Appl. 39, 132–148 (2001).Iwaniec T. and Martin G. What’s new for the Beltrami equation? In: Geometric Analysis and Applications. Proc. Centre Math. Appl. 39, 132–148 (2001).Тунгатаров А.Б. О приложении некоторых интегральных операторов в теории обобщенных аналитических функций, Изв. АН Казахской ССР. Сер. физ.-матем. 134 (1), 51–54 (1987).Тунгатаров А.Б. О приложении некоторых интегральных операторов в теории обобщенных аналитических функций, Изв. АН Казахской ССР. Сер. физ.-матем. 134 (1), 51–54 (1987).Katz D.B. and Kats B.A. Riemann boundary value problem on nonrectifiable curves for certain Beltrami equations, Math. Meth. Appl. Sci. 41 (6), 2507–2514 (2018).Katz D.B. and Kats B.A. Riemann boundary value problem on nonrectifiable curves for certain Beltrami equations, Math. Meth. Appl. Sci. 41 (6), 2507–2514 (2018).Кац Д.Б., Кац Б.А. Аналог формулы Коши для некоторых уравнений Бельтрами, Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. физ.-матем. науки 161 (4) (2019).Кац Д.Б., Кац Б.А. Аналог формулы Коши для некоторых уравнений Бельтрами, Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. физ.-матем. науки 161 (4) (2019).Kats B.A. The Cauchy integral over non-rectifiable paths, Contemporary Math. 455, 183–196 (2008).Kats B.A. The Cauchy integral over non-rectifiable paths, Contemporary Math. 455, 183–196 (2008).Kats B.A. The Cauchy integral along Phi - rectifiable curves, Lobatchevskii J. Math. 7, 15–29 (2000).Kats B.A. The Cauchy integral along Phi - rectifiable curves, Lobatchevskii J. Math. 7, 15–29 (2000).Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной, 3-е изд. (Наука, М., 1974).Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной, 3-е изд. (Наука, М., 1974).Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. III (Наука, М., 1960).Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. III (Наука, М., 1960).Lesniewicz R., Orlitz W. On generalized variation II, Studia Math. 45 (1), 71–109 (1973).Lesniewicz R., Orlitz W. On generalized variation II, Studia Math. 45 (1), 71–109 (1973).Kondurar V. Sur l’integrale de Stieltjes, Rec. Math., 2(44) (2), 361–366 (1937).Kondurar V. Sur l’integrale de Stieltjes, Rec. Math., 2(44) (2), 361–366 (1937).Кац Б.А. Об интегрировании по неспрямляемой кривой, Московский инженерно-строительный институт. Вопросы математики, механики сплошных сред и применения математических методов в строительстве. Сб. научн. тр. М., МИСИ, 63–69 (1982).Кац Б.А. Об интегрировании по неспрямляемой кривой, Московский инженерно-строительный институт. Вопросы математики, механики сплошных сред и применения математических методов в строительстве. Сб. научн. тр. М., МИСИ, 63–69 (1982).Harrison J. and Norton A. Geometric integration on fractal curves in the plane, Indiana Univ. Math. J. 40 (2), 567–594 (1991).Harrison J. and Norton A. Geometric integration on fractal curves in the plane, Indiana Univ. Math. J. 40 (2), 567–594 (1991).Harrison J. and Norton A. The Gauss-Green theorem for fractal boundaries, Duke Math. J. 67 (3), 575–588 (1992).Harrison J. and Norton A. The Gauss-Green theorem for fractal boundaries, Duke Math. J. 67 (3), 575–588 (1992).Harrison J. Lectures on chainlet geometry – new topological methods in geometric measure theory, arXiv:math-ph/0505063v1 24 May 2005; Proceedings of Ravello Summer School for Mathematical Physics, (2005).Harrison J. Lectures on chainlet geometry – new topological methods in geometric measure theory, arXiv:math-ph/0505063v1 24 May 2005; Proceedings of Ravello Summer School for Mathematical Physics, (2005).Кац Б.А. О некоторых обобщениях понятия длины, Матем. заметки 70 (6), 875–881 (2001).Кац Б.А. О некоторых обобщениях понятия длины, Матем. заметки 70 (6), 875–881 (2001).Kats B.A. The Inequalities for Polynomials and Integration over Fractal Arcs, Canadian Math. Bull. 44 (1), 61–69 (2001).Kats B.A. The Inequalities for Polynomials and Integration over Fractal Arcs, Canadian Math. Bull. 44 (1), 61–69 (2001).Гамелин Т.В. Равномерные алгебры (Мир, М., 1973).Гамелин Т.В. Равномерные алгебры (Мир, М., 1973).Guseynov Y. Integrable boundaries and fractals for H¨older classes; the Gauss-Green theorem, Calculus Variations and Partial Diff. Equat. 55 (4), 1–27 (2016).Guseynov Y. Integrable boundaries and fractals for H¨older classes; the Gauss-Green theorem, Calculus Variations and Partial Diff. Equat. 55 (4), 1–27 (2016).Guseynov Y., Seif R., Contour Integrals, Plemelj-Privalov Theorem on Non-rectifiable Jordan Curves and Applications, Integral and Differential Operators and Their Applications, An International Conference in Honour of Professor Stefan Samko on the occasion of his 70th birthday, University of Aveiro, Portugal, 30 June - 2 July, 2011.Guseynov Y., Seif R., Contour Integrals, Plemelj-Privalov Theorem on Non-rectifiable Jordan Curves and Applications, Integral and Differential Operators and Their Applications, An International Conference in Honour of Professor Stefan Samko on the occasion of his 70th birthday, University of Aveiro, Portugal, 30 June - 2 July, 2011.Guseynov Y. Summability on non-rectifiable Jordan curves (Georgian Math. J., 2018, February).Guseynov Y. Summability on non-rectifiable Jordan curves (Georgian Math. J., 2018, February).Paley R.E.A.C., Wiener N. and Zygmund A. Notes on random functions, Math. Z. 37 (1), 647–668 (1933).Paley R.E.A.C., Wiener N. and Zygmund A. Notes on random functions, Math. Z. 37 (1), 647–668 (1933).Abreu-Blaya R., Bory-Reyes J., Kats B.A. Integration over non-rectifiable curves and Riemann boundary value problems, J. Math. Anal. and Appl. 380 (1), 177–187 (2011).Abreu-Blaya R., Bory-Reyes J., Kats B.A. Integration over non-rectifiable curves and Riemann boundary value problems, J. Math. Anal. and Appl. 380 (1), 177–187 (2011).Kats B.A. and Katz D.B. Marcinkiewicz exponents and integrals over non-rectifiable paths, Math. Meth. Appl. Sci. 39 (12), 3402–3410 (2016).Kats B.A. and Katz D.B. Marcinkiewicz exponents and integrals over non-rectifiable paths, Math. Meth. Appl. Sci. 39 (12), 3402–3410 (2016).Чирка Е.М. Комплексные аналитические множества (Наука, М., 1985).Чирка Е.М. Комплексные аналитические множества (Наука, М., 1985).Liu H. A note about Riemann boundary value problems on non-rectifiable curves, Complex Var. Elliptic Equ. 52 (10–11), 877–882 (2007).Liu H. A note about Riemann boundary value problems on non-rectifiable curves, Complex Var. Elliptic Equ. 52 (10–11), 877–882 (2007).Антонцев С.Н., Монахов В.Н. Краевые задачи сопряжения со сдвигом в многосвязных областях для квазилинейных эддиптических систем уравнений первого порядка, Тр. симпоз. по механ. сплош. среды и родств. пробл. анализа. Т.2, Тбилиси, Мецниерба, 20–35 (1871).Антонцев С.Н., Монахов В.Н. Краевые задачи сопряжения со сдвигом в многосвязных областях для квазилинейных эддиптических систем уравнений первого порядка, Тр. симпоз. по механ. сплош. среды и родств. пробл. анализа. Т.2, Тбилиси, Мецниерба, 20–35 (1871).Селезнев В.А. Краевая задача Газемана на римановых поверхностях в классах квазиконформных контуров и сдвигов, Динамика сплошной среды, Новосибирск (13), 99–113 (1973).Селезнев В.А. Краевая задача Газемана на римановых поверхностях в классах квазиконформных контуров и сдвигов, Динамика сплошной среды, Новосибирск (13), 99–113 (1973).Селезнев В.А. Сингулярные уравнения на квазиконформных контурах, Методич. вопросы теории функций и отображений., вып. 7, 130–147 (Наукова думка, Киев, 1975)Селезнев В.А. Сингулярные уравнения на квазиконформных контурах, Методич. вопросы теории функций и отображений., вып. 7, 130–147 (Наукова думка, Киев, 1975)Батчаев И.М. Теория интеграла Коши и сингулярных интегральных уравнений на компактах комплексной плоскости (Изд-во ЮФУ, Ростов-на-Дону, 2012).Батчаев И.М. Теория интеграла Коши и сингулярных интегральных уравнений на компактах комплексной плоскости (Изд-во ЮФУ, Ростов-на-Дону, 2012).Schippers E., Staubach W. Riemann Boundary Value Problem on Quasidisks. Faber Isomorphism and Grunsky Operator, Complex Anal. Oper. Theory 12, 325–354 (2018).Schippers E., Staubach W. Riemann Boundary Value Problem on Quasidisks. Faber Isomorphism and Grunsky Operator, Complex Anal. Oper. Theory 12, 325–354 (2018).Дынькин Е.М. Гладкость интегралов типа Коши, Зап. научн. сем. ЛОМИ АН СССР (92), 115–133 (1979).Дынькин Е.М. Гладкость интегралов типа Коши, Зап. научн. сем. ЛОМИ АН СССР (92), 115–133 (1979).Салимов Т.С. Прямая оценка для сингулярного интеграла Коши по замкнутой кривой, Научн. тр. МВ и ССО Азерб. ССР (5), 59–75 (1979).Салимов Т.С. Прямая оценка для сингулярного интеграла Коши по замкнутой кривой, Научн. тр. МВ и ССО Азерб. ССР (5), 59–75 (1979).Кац Б.А. Краевая задача Римана на неспрямляемой жордановой кривой, ДАН СССР, 267 (4), 789–792 (1982).Кац Б.А. Краевая задача Римана на неспрямляемой жордановой кривой, ДАН СССР, 267 (4), 789–792 (1982).Кац Б.А. Краевая задача Римана на негладких дугах и фрактальные размерности, Алгебра и Анализ 6 (1), 172–202 (1994).Кац Б.А. Краевая задача Римана на негладких дугах и фрактальные размерности, Алгебра и Анализ 6 (1), 172–202 (1994).Kats B.A. The Riemann boundary value problem on non-rectifiable curves and related questions, Complex Variables and Elliptic Equat. 59 (8), 1053–1069 (2014).Kats B.A. The Riemann boundary value problem on non-rectifiable curves and related questions, Complex Variables and Elliptic Equat. 59 (8), 1053–1069 (2014).Katz D.B., Kats B.A. Interactions of germs with applications, Math. Meth. Appl. Sci. 22 February 2017 DOI: 10.1002/mma.4362Katz D.B., Kats B.A. Interactions of germs with applications, Math. Meth. Appl. Sci. 22 February 2017 DOI: 10.1002/mma.4362Хавин В.П. О выделении особенностей аналитических функций, ДАН СССР 121 (2), 239–242 (1958).Хавин В.П. О выделении особенностей аналитических функций, ДАН СССР 121 (2), 239–242 (1958).Хавин В.П. Один аналог ряда Лорана, В кн.: Исследования по современным проблемам теории функций комплексного переменного. Сб. статей / под ред. А.И. Маркушевича, 121–131 (Физматлит, М., 1961).Хавин В.П. Один аналог ряда Лорана, В кн.: Исследования по современным проблемам теории функций комплексного переменного. Сб. статей / под ред. А.И. Маркушевича, 121–131 (Физматлит, М., 1961).Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения (Наука, М., 1983).Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения (Наука, М., 1983).Assouad P. Espaces m´etriques, plongements, facteurs, These de doctorat d’Etat, In: Publ. Math. Orsay, Univ. Paris XI, Orsay, 223–7769 (1977).Assouad P. Espaces m´etriques, plongements, facteurs, These de doctorat d’Etat, In: Publ. Math. Orsay, Univ. Paris XI, Orsay, 223–7769 (1977).Assouad P. Etude d’une dimension m´etrique li´ee ´ a` la possibilit´e de plongements dans BbbR n , C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A–B 288, 731–734 (1979).Assouad P. Etude d’une dimension m´etrique li´ee ´ a` la possibilit´e de plongements dans BbbR n , C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A–B 288, 731–734 (1979).Aikawa H., Quasiadditivity of Riesz capacity, Math. Scand. 69, 15–30 (1991).Aikawa H., Quasiadditivity of Riesz capacity, Math. Scand. 69, 15–30 (1991).K¨aenm¨aki A., Lehrb¨ack J., Vuorinen M. Dimension, Whitney covers, and tubular neighborhoods, Indiana Univ. Math. J. 62 (6), 1861–1889 (2013).K¨aenm¨aki A., Lehrb¨ack J., Vuorinen M. Dimension, Whitney covers, and tubular neighborhoods, Indiana Univ. Math. J. 62 (6), 1861–1889 (2013).Fraser J.M., Yu Han, New dimension spectra: Finer information on scaling and homogeneity, Advances in Math. 329, 273–328 (2018).Fraser J.M., Yu Han, New dimension spectra: Finer information on scaling and homogeneity, Advances in Math. 329, 273–328 (2018).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.