izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2023-12-3-16izvuzmath-29Research ArticleСтатьиЗадача определения ядра типа свертки в уравнении Мура–Гибсона–Томсона третьего порядкаConvolution kernel determination problem in the third order Moore–Gibson–Thompson equationДурдиевД. К.DurdievD. K.

Дурдимурод Каландарович Дурдиев

ул. Университетская, д. 46, г. Ташкент, 100170; ул. М. Икбол, д. 11, г. Бухара, 200118

Durdimurod Kalandarovich Durdiev

46 University str., Tashkent, 100170; 11 Muhammad Ikbal str., Bukhara, 200118

durdiev65@mail.ruБолтаевА. А.BoltaevA. A.

Аслиддин Аскар угли Болтаев

ул. Университетская, д. 46, г. Ташкент, 100170; ул. М. Икбол, д. 11, г. Бухара, 200118

Asliddin Askar ugli Boltaev

46 University str., Tashkent, 100170; 11 Muhammad Ikbal str., Bukhara, 200118

asliddinboltayev@mail.ruРахмоновА. А.RahmonovA. A.

Аскар Ахмадович Рахмонов

ул. Университетская, д. 46, г. Ташкент, 100170; ул. М. Икбол, д. 11, г. Бухара, 200118

Askar Ahmadovich Rahmonov

46 University str., Tashkent, 100170; 11 Muhammad Ikbal str., Bukhara, 200118

araxmonov@mail.ruИнститут математики им. В.И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан; Бухарский государственный университетУзбекистанInstitute of Mathematics at the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan; Bukhara State UniversityUzbekistan202323122023112316Copyright © Дурдиев Д.К., Болтаев А.А., Рахмонов А.А., 20232023Дурдиев Д.К., Болтаев А.А., Рахмонов А.А.Durdiev D.K., Boltaev A.A., Rahmonov A.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/29

Исследуется обратная задача определения функции ядра g(t) в уравнении Мура– Гибсона–Томсона (МГТ) третьего порядка. Во-первых, начально-краевая задача сводится к эквивалентной задаче. С помощью спектрального метода Фурье эквивалентная задача сводится к системе интегральных уравнений. Доказаны существование и единственность решения интегральных уравнений. Полученное решение интегральных уравнений типа Вольтерра является единственным решением эквивалентной задачи. На основе эквивалентности задач доказывается теорема существования и единственности классических решений исходной обратной задачи.

This article is concerned with the study of the inverse problem of determining the difference kernel in a Volterra type integral term function in the third-order Moore–Gibson–Thompson (MGT) equation. First, the initial-boundary value problem is reduced to an equivalent problem. Using the Fourier spectral method, the equivalent problem is reduced to a system of integral equations. The existence and uniqueness of the solution to the integral equations are proved. The obtained solution to the integral equations of Volterra-type is also the unique solution to the equivalent problem. Based on the equivalence of the problems, the theorem of the existence and uniqueness of the classical solutions of the original inverse problem is proved. 

уравнение МГТначально-краевая задачаобратная задачасуществованиеединственностьmgt equationinitial-boundary value probleminverse problemexistenceuniquenessРабота второго автора выполнена при поддержке Минобрнауки России, соглашение № 075-02-2023-914ReferencesKaltenbacher B., Lasiecka I., Marchand R. Wellposedness and exponential decay rates for the Moore–Gibson– Thompson equation arising in high intensity ultrasound, Control and Cybernetics 40 (4), 971–988 (2011).Kaltenbacher B., Lasiecka I., Marchand R. Wellposedness and exponential decay rates for the Moore–Gibson– Thompson equation arising in high intensity ultrasound, Control and Cybernetics 40 (4), 971–988 (2011).Lasiecka I., Wang X. Moore–Gibson–Thompson equation with memory, part I: exponential decay of energy, Zeitschrift f¨ur angewandte Math. und Phys. 67 (2), 2–17 (2016).Lasiecka I., Wang X. Moore–Gibson–Thompson equation with memory, part I: exponential decay of energy, Zeitschrift f¨ur angewandte Math. und Phys. 67 (2), 2–17 (2016).Al-Khulai W., Boumenir A. Reconstructing the Moore–Gibson–Thompson Equation, Nonautonomous Dynamical Systems 7 (1), 219–223 (2020). ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЯДРА ТИПА СВЕРТКИ 15Al-Khulai W., Boumenir A. Reconstructing the Moore–Gibson–Thompson Equation, Nonautonomous Dynamical Systems 7 (1), 219–223 (2020). ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЯДРА ТИПА СВЕРТКИ 15Lasiecka I., Wang X. Moore–Gibson–Thompson equation with memory, part II: General decay of energy, J. Diff. Equat. 259 (12), 7610–7635 (2015).Lasiecka I., Wang X. Moore–Gibson–Thompson equation with memory, part II: General decay of energy, J. Diff. Equat. 259 (12), 7610–7635 (2015).Lasiecka I. Global solvability of Moore–Gibson–Thompson equation with memory arising in nonlinear acoustics, J. Evolution Equat. 17 (1), 411–441 (2017).Lasiecka I. Global solvability of Moore–Gibson–Thompson equation with memory arising in nonlinear acoustics, J. Evolution Equat. 17 (1), 411–441 (2017).Romanov V.G. Inverse problems for differential equations with memory, Eurasian J. Math. and Comput. Appl. 2 (4), 51–80 (2014).Romanov V.G. Inverse problems for differential equations with memory, Eurasian J. Math. and Comput. Appl. 2 (4), 51–80 (2014).Дурдиев Д.К., Сафаров Ж.Ш. Обратная задача об определении одномерного ядра уравнения вязкоупругости в ограниченной области, Матем. заметки 97 (6), 855–867 (2015).Дурдиев Д.К., Сафаров Ж.Ш. Обратная задача об определении одномерного ядра уравнения вязкоупругости в ограниченной области, Матем. заметки 97 (6), 855–867 (2015).Durdiev D.K., Totieva Zh.D. The problem of determining the one-dimensional kernel of viscoelasticity equation with a source of explosive type, J. Inverse Ill-posed Probl. 28 (1), 43–52 (2019).Durdiev D.K., Totieva Zh.D. The problem of determining the one-dimensional kernel of viscoelasticity equation with a source of explosive type, J. Inverse Ill-posed Probl. 28 (1), 43–52 (2019).Durdiev D.K., Zhumaev Zh.Zh. Memory kernel reconstruction problems in the integro-differential equation of rigid heat conductor, Math. Meth. Appl. Sci. 45, 8374–8388 (2022).Durdiev D.K., Zhumaev Zh.Zh. Memory kernel reconstruction problems in the integro-differential equation of rigid heat conductor, Math. Meth. Appl. Sci. 45, 8374–8388 (2022).Durdiev U.D., Totieva Z.D. A problem of determining a special spatial part of 3D memory kernel in an integro-differential hyperbolic equation, Math. Meth. Appl. Sci. 42 (3), 7440–7451 (2019).Durdiev U.D., Totieva Z.D. A problem of determining a special spatial part of 3D memory kernel in an integro-differential hyperbolic equation, Math. Meth. Appl. Sci. 42 (3), 7440–7451 (2019).Дурдиев Д.К., Рахмонов А.А. Обратная задача для системы интегро-дифференциальных уравнений SH-волн в вязкоупругой пористой среде: глобальная разрешимость, ТМФ 195 (3), 491–506 (2018).Дурдиев Д.К., Рахмонов А.А. Обратная задача для системы интегро-дифференциальных уравнений SH-волн в вязкоупругой пористой среде: глобальная разрешимость, ТМФ 195 (3), 491–506 (2018).Durdiev D.K., Rahmonov A.A. A 2D kernel determination problem in a visco-elastic porous medium with a weakly horizontally inhomogeneity, Math. Meth. Appl. Sci. 43, 8776–8796 (2020).Durdiev D.K., Rahmonov A.A. A 2D kernel determination problem in a visco-elastic porous medium with a weakly horizontally inhomogeneity, Math. Meth. Appl. Sci. 43, 8776–8796 (2020).Бухгейм А.Л., Дятлов Г.В. Единственность в одной обратной задаче определения памяти, Сиб. матем. журн. 37 (3), 526–533 (1996).Бухгейм А.Л., Дятлов Г.В. Единственность в одной обратной задаче определения памяти, Сиб. матем. журн. 37 (3), 526–533 (1996).Janno J., Wolfersdorf L. Inverse problems for identification of memory kernels in heat flow, Inverse and Ill-posed Probl. 4 (1), 39–66 (1996).Janno J., Wolfersdorf L. Inverse problems for identification of memory kernels in heat flow, Inverse and Ill-posed Probl. 4 (1), 39–66 (1996).Pais E., Janno J. Inverse problem to determine degenerate memory kernel in heat flux with third kind boundary conditions, Math. Model. and Anal. 11 (4), 427–450 (2006).Pais E., Janno J. Inverse problem to determine degenerate memory kernel in heat flux with third kind boundary conditions, Math. Model. and Anal. 11 (4), 427–450 (2006).Colombo F. An inverse problem for a parabolic integrodifferential model in the theory of combustion, Phys. 236, 81–89 (2007).Colombo F. An inverse problem for a parabolic integrodifferential model in the theory of combustion, Phys. 236, 81–89 (2007).Guidetti D. Some inverse problems of identification for integrodifferential parabolic systems with a boundary memory term, Discrete & Continuous Dynamical Systems 8 (4), 749–756 (2015).Guidetti D. Some inverse problems of identification for integrodifferential parabolic systems with a boundary memory term, Discrete & Continuous Dynamical Systems 8 (4), 749–756 (2015).Бондаренко А.Н., Бугуева Т.В., Иващенко Д.С. Метод интегральных преобразований в обратных задачах аномальной диффузии, Изв. вузов. Матем. (3), 3–14 (2017).Бондаренко А.Н., Бугуева Т.В., Иващенко Д.С. Метод интегральных преобразований в обратных задачах аномальной диффузии, Изв. вузов. Матем. (3), 3–14 (2017).Durdiev D.K., Turdiev Kh.Kh. Inverse problem for a first-order hyperbolic system with memory, Diff. Equat. 56 (12), 1634–1643 (2020).Durdiev D.K., Turdiev Kh.Kh. Inverse problem for a first-order hyperbolic system with memory, Diff. Equat. 56 (12), 1634–1643 (2020).Дурдиев Д.К., Турдиев Х.Х. Задача определения ядер в системе интегродифференциальных уравнений Максвелла, Сиб. журн. индустр. матем. 24 (2), 38–61 (2021).Дурдиев Д.К., Турдиев Х.Х. Задача определения ядер в системе интегродифференциальных уравнений Максвелла, Сиб. журн. индустр. матем. 24 (2), 38–61 (2021).Boltaev A.A., Durdiev D.K. Inverse problem for viscoelastic system in a vertically layered medium, Владикавк. матем. журн. 24 (4), 30–47 (2022).Boltaev A.A., Durdiev D.K. Inverse problem for viscoelastic system in a vertically layered medium, Владикавк. матем. журн. 24 (4), 30–47 (2022).Liu S., Triggiani R. An inverse problem for a third order PDE arising in high-intensity ultrasound: Global uniqueness and stability by one boundary measurement, J. Inverse Ill-posed Probl. 21 (6), 825–869 (2013).Liu S., Triggiani R. An inverse problem for a third order PDE arising in high-intensity ultrasound: Global uniqueness and stability by one boundary measurement, J. Inverse Ill-posed Probl. 21 (6), 825–869 (2013).Arancibia R., Lecaros R., Mercado A., Zamorano S. An inverse problem for Moore–Gibson–Thompson equation arising in high intensity ultrasound, J. Inverse Ill-posed Probl. 30 (5), 659–675 (2022).Arancibia R., Lecaros R., Mercado A., Zamorano S. An inverse problem for Moore–Gibson–Thompson equation arising in high intensity ultrasound, J. Inverse Ill-posed Probl. 30 (5), 659–675 (2022).Мергалиев Я.Т. О разрешимости одной обратной краевой задачи для эллиптического уравнения второго порядка, Вестн. ТвГУ. Сер. Прикл. матем. (23), 25–38 (2011).Мергалиев Я.Т. О разрешимости одной обратной краевой задачи для эллиптического уравнения второго порядка, Вестн. ТвГУ. Сер. Прикл. матем. (23), 25–38 (2011).Мегралиев Я.Т. Об одной обратной краевой задачи для эллиптического уравнения второго порядка с дополнительными интегральными условиями, Владикавк. матем. журн. 15 (4), 30–43 (2013).Мегралиев Я.Т. Об одной обратной краевой задачи для эллиптического уравнения второго порядка с дополнительными интегральными условиями, Владикавк. матем. журн. 15 (4), 30–43 (2013).Худавердиев К.И., Велиев А.А. Исследование одномерной смешанной задачи для класса псевдогиперболических уравнений третьего порядка с нелинейным оператором в правой части (Чашеглы, Баку, 2010).Худавердиев К.И., Велиев А.А. Исследование одномерной смешанной задачи для класса псевдогиперболических уравнений третьего порядка с нелинейным оператором в правой части (Чашеглы, Баку, 2010).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.