izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2026-3-49-66izvuzmath-276Research ArticleСтатьиО приведении дифференциальной системы второго порядка к реализации с полилинейным регулятором, инвариантным к разнорегулируемым траекторным пучкамOn the reduction of a second-order differential system to a realization with a polylinear controller invariant with respect to independently controllable trajectory bundlesЛакеевА. В.LakeyevA. V.

Анатолий Валентинович Лакеев

Anatoliy Valentinovich Lakeyev

134 Lermontov str., Irkutsk, 664033 

ЛинкеЮ. Э.LinkeYu. E.

Юрий Эрниевич Линке 

Иркутск

Yurij Ernievich Linke

Irkutsk

linkeyurij@gmail.comРусановВ. А.RusanovV. A.

Вячеслав Анатольевич Русанов

ул. Лермонтова, д. 134, г. Иркутск, 664033

Vyacheslav Anatolievich Rusanov

134 Lermontov str., Irkutsk, 664033 

v.rusanov@mail.ruИнститут динамики систем и теории управления им. В.М. Матросова Сибирского отделения Российской академии наукРоссияMatrosov Institute for System Dynamics and Control Theory of Siberian Branch of Russian Academy of SciencesRussian Federation202612042026034966Copyright © Лакеев А.В., Линке Ю.Э., Русанов В.А., 20262026Лакеев А.В., Линке Ю.Э., Русанов В.А.Lakeyev A.V., Linke Y.E., Rusanov V.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/276

Для конечного семейства континуальных пучков управляемых траекторных кри­вых, индуцированных в сепарабельном гильбертовом пространстве заданной нестационар­ной дифференциальной системой второго порядка с разными полилинейными регуляторами и постоянными параметрами запаздывания, исследована разрешимость задачи реализации операторных коэффициентов общего (инвариантного) полилинейного регулятора с такими же постоянными параметрами запаздывания, но при наличии которого в структуре данной дифференциальной системы объединение этих динамических пучков представляет семейство ее допустимых решений. Данная задача относится к качественной теории нестационарных коэффициентно-операторных обратных задач для эволюционных уравнений второго поряд­ка в бесконечномерном гильбертовом пространстве и решается на основе изучения свойств непрерывности и полуаддитивности нелинейного функционального оператора Релея-Ритца. Полученные результаты имеют приложения в общей теории адаптивных динамических си­стем для класса полилинейных дифференциальных моделей высших порядков.

For a finite family of continuum bundles of controlled trajectory curves (“trajectory, control” pairs) induced in a separable Hilbert space by a given second-order nonstationary differen­tial system with different polylinear regulators and constant delay parameters, the solvability of the problem of implementing the operator coefficients of a general (invariant) polylinear controller with the same constant delay parameters is investigated, but in the presence of which in the structure of a given differential system, the union of these dynamic bundles represents a family of its admissible solutions. This problem belongs to the type of nonstationary coefficient-operator inverse problems for evolutionary equations of second-order in an infinite-dimensional Hilbert space and is solved on the basis of studying the properties of continuity and semi-additivity of the nonlinear Rayleigh- Ritz functional operator. The results obtained have applications in the general theory of adaptive systems for a class of higher-order polylinear differential models.

обратная задача эволюционного уравнениянеавтономная дифференциаль¬ная реализация второго порядкаинвариантный полилинейный регулятор с запаздываниемнелинейный функциональный оператор Релея-Ритцаinverse problem of evolution equationsecond-order non-autonomous differential real¬izationinvariant polylinear controller with delaynonlinear Rayleigh-Ritz functional operatorРабота выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ (проект № 126021217176-0)ReferencesМесарович М., Такахара Я. Общая теория систем: Математические основы (Мир, М., 1978).Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: Математические основы (Мир, М., 1978).Русанов В.А. Об одной алгебре множеств динамических процессов, обладающей дифференциальной реализаций в гильбертовом пространстве, Докл. РАН 433 (6), 750–752 (2010).Русанов В.А. Об одной алгебре множеств динамических процессов, обладающей дифференциальной реализаций в гильбертовом пространстве, Докл. РАН 433 (6), 750–752 (2010).Chen Y. A new one-parameter inhomogeneous differential realization of the spl (2, 1) superalgebra, Internat. J. Theor. Phys. 51 (12), 3763–3768 (2012).Chen Y. A new one-parameter inhomogeneous differential realization of the spl (2, 1) superalgebra, Internat. J. Theor. Phys. 51 (12), 3763–3768 (2012).Rusanov V.A., Lakeyev A.V., Banshchikov A.V., Daneev A.V. On the bilinear second order differential realization of an infinite-dimensional dynamical system: An approach based on extensions to M2-operators, Fractal Fract. 7 (4), 310–327 (2023).Rusanov V.A., Lakeyev A.V., Banshchikov A.V., Daneev A.V. On the bilinear second order differential realization of an infinite-dimensional dynamical system: An approach based on extensions to M2-operators, Fractal Fract. 7 (4), 310–327 (2023).Банщиков А.В., Лакеев А.В., Русанов В.А. О полилинейной дифференциальной реализации детерминированного динамического хаоса в классе уравнений высших порядков с запаздыванием, Изв. вузов. Матем. (10), 3–21 (2023).Банщиков А.В., Лакеев А.В., Русанов В.А. О полилинейной дифференциальной реализации детерминированного динамического хаоса в классе уравнений высших порядков с запаздыванием, Изв. вузов. Матем. (10), 3–21 (2023).Лакеев А.В., Линке Ю.Э., Русанов В.А. К реализации полилинейного регулятора дифференциальной системы второго порядка в гильбертовом пространстве, Дифференц. уравнения 53 (8), 1098–1109 (2017).Лакеев А.В., Линке Ю.Э., Русанов В.А. К реализации полилинейного регулятора дифференциальной системы второго порядка в гильбертовом пространстве, Дифференц. уравнения 53 (8), 1098–1109 (2017).Дружинин Э.И. Построение структурно устойчивых моделей динамики больших космических конструкций по данным летных испытаний, Докл. РАН 474 (3), 285–288 (2017).Дружинин Э.И. Построение структурно устойчивых моделей динамики больших космических конструкций по данным летных испытаний, Докл. РАН 474 (3), 285–288 (2017).Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ (Мир, М., 1977).Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ (Мир, М., 1977).Массера Х.Л., Шеффер Х.Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства (Мир, М., 1970).Массера Х.Л., Шеффер Х.Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства (Мир, М., 1970).Аниконов Ю.Е., Нещадим М.В. Об аналитических методах в теории обратных задач для гиперболических уравнений, Сиб. журн. индустр. матем. 14 (1), 27–39 (2011).Аниконов Ю.Е., Нещадим М.В. Об аналитических методах в теории обратных задач для гиперболических уравнений, Сиб. журн. индустр. матем. 14 (1), 27–39 (2011).Rusanov V.A., Daneev A.V., Lakeyev A.V., Linke Yu.E'. To existence of a nonstationary quasi-linear vector field realizing the expansion of a control trajectory bundle in Hilbert space, WSEAS Trans. Syst. 19, 115–120 (2020).Rusanov V.A., Daneev A.V., Lakeyev A.V., Linke Yu.E'. To existence of a nonstationary quasi-linear vector field realizing the expansion of a control trajectory bundle in Hilbert space, WSEAS Trans. Syst. 19, 115–120 (2020).Popkov Yu.S. Controlled positive dynamic systems with an entropy operator: fundamentals of the theory and applications, Mathematics 9 (20), 2585 (2021), DOI: 10.3390/math9202585.Popkov Yu.S. Controlled positive dynamic systems with an entropy operator: fundamentals of the theory and applications, Mathematics 9 (20), 2585 (2021), DOI: 10.3390/math9202585.K¨omura Y. Nonlinear semi-groups in Hilbert space, J. Math. Soc. Japan 19 (4), 493–507 (1967).K¨omura Y. Nonlinear semi-groups in Hilbert space, J. Math. Soc. Japan 19 (4), 493–507 (1967).Эдвардс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения (Мир, М., 1969).Эдвардс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения (Мир, М., 1969).Келли Дж. Л. Общая топология (Наука, М., 1981).Келли Дж. Л. Общая топология (Наука, М., 1981).Лакеев А.В., Линке Ю.Э., Русанов В.А. Метрические свойства оператора Релея–Ритца, Изв. вузов. Матем. (9), 54–63 (2022).Лакеев А.В., Линке Ю.Э., Русанов В.А. Метрические свойства оператора Релея–Ритца, Изв. вузов. Матем. (9), 54–63 (2022).Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ (Наука, М., 1977).Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ (Наука, М., 1977).Иосида К. Функциональный анализ (Мир, М., 1967).Иосида К. Функциональный анализ (Мир, М., 1967).Daneev A.V., Lakeyev A.V., Rusanov V.A., Plesnyov P.A. Differential non-autonomous representation of the integrative activity of a neural population by a bilinear second-order model with delay, Lect. Notes Netw. Syst. 319, 191–199.Daneev A.V., Lakeyev A.V., Rusanov V.A., Plesnyov P.A. Differential non-autonomous representation of the integrative activity of a neural population by a bilinear second-order model with delay, Lect. Notes Netw. Syst. 319, 191–199.Лакеев А.В., Линке Ю.Э., Русанов В.А. К геометрической теории реализации нелинейных управляемых динамических процессов в классе билинейных моделей второго порядка, Дальневост. матем. журн. 24 (2), 200–219 (2024).Лакеев А.В., Линке Ю.Э., Русанов В.А. К геометрической теории реализации нелинейных управляемых динамических процессов в классе билинейных моделей второго порядка, Дальневост. матем. журн. 24 (2), 200–219 (2024).Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций (Наука, М., 1966).Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций (Наука, М., 1966).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.