izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2023-11-92-97izvuzmath-26Research ArticleСтатьиКонечно-элементное моделирование собственных колебаний квадратной пластины с присоединенным осцилляторомFinite element modeling of the eigenvibrations of the square plate with attached oscillatorКоростелевад. М.KorostelevaD. M.

Диана Маратовна Коростелева

ул. Красносельская, д. 51, г. Казань, 420066

Diana Maratovna Korosteleva

51 Krasnoselskaya str., Kazan, 420066

diana.korosteleva.kpfu@mail.ruСоловьевС. И.Solov’evS. I.

Сергей Иванович Соловьев

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008

Sergey Ivanovich Solov’ev

18 Kremlevskaya str., Kazan, 420008

sergey.solovev.kpfu@mail.ruКазанский государственный энергетический университетРоссияKazan State Power Engineering UniversityRussian FederationКазанский федеральный университетРоссияKazan Federal UniversityRussian Federation2023091220230119297Copyright © Коростелева д.М., Соловьев С.И., 20232023Коростелева д.М., Соловьев С.И.Korosteleva D.M., Solov’ev S.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/26

Для задачи о собственных вибрациях пластины с присоединенным осциллятором предложена новая симметричная линейная вариационная постановка. Установлено существование последовательности конечнократных положительных собственных значений с предельной точкой на бесконечности и соответствующей полной ортонормированной системы собственных векторов. Сформулирована новая симметричная схема метода конечных элементов с эрмитовыми конечными элементами. Доказаны согласованные с гладкостью решения оценки погрешности приближенных собственных значений и приближенных собственных векторов. Приведены результаты численных экспериментов, иллюстрирующих влияние гладкости решения на точность вычислений.

For the problem on eigenvibrations of the plate with an attached oscillator, the new symmetric linear variational statement is proposed. It is established the existence of the sequence of positive eigenvalues of finite multiplicity with limit point at infinity and the corresponding complete orthonormal system of eigenvectors. The new symmetric scheme of the finite element method with Hermite finite elements is formulated. Error estimates consistent with the solution smoothness for the approximate eigenvalues and approximate eigenvectors are proved. The results of numerical experiments illustrating the influence of the solution smoothness on the computation accuracy are presented.

собственное колебаниепластинаосцилляторсобственное значениесобственный векторзадача на собственные значенияметод конечных элементовeigenvibrationplateoscillatoreigenvalueeigenvectoreigenvalue problemfinite element methodReferencesСерёгин С.В. Динамика тонких цилиндрических оболочек с присоединенной массой (КнАГТУ, Комсомольск-на-Амуре, 2016).Серёгин С.В. Динамика тонких цилиндрических оболочек с присоединенной массой (КнАГТУ, Комсомольск-на-Амуре, 2016).Андреев Л.В., Дышко А.Л., Павленко И.Д. Динамика пластин и оболочек с сосредоточенными массами (Машиностроение, М., 1988).Андреев Л.В., Дышко А.Л., Павленко И.Д. Динамика пластин и оболочек с сосредоточенными массами (Машиностроение, М., 1988).Андреев Л.В., Станкевич А.И., Дышко А.Л., Павленко И.Д. Динамика тонкостенных конструкций с присоединенными массами (Изд-во МАИ, М., 2012).Андреев Л.В., Станкевич А.И., Дышко А.Л., Павленко И.Д. Динамика тонкостенных конструкций с присоединенными массами (Изд-во МАИ, М., 2012).Соловьёв С.И. Нелинейные задачи на собственные значения. Приближенные методы (LAP Lambert Academic Publishing, Saarbr¨ucken, 2011).Соловьёв С.И. Нелинейные задачи на собственные значения. Приближенные методы (LAP Lambert Academic Publishing, Saarbr¨ucken, 2011).Algazin S.D. Numerical study of free oscillations of a beam with oscillators, J. Appl. Mech. Techn. Phys. 47 (3), 433—438 (2006).Algazin S.D. Numerical study of free oscillations of a beam with oscillators, J. Appl. Mech. Techn. Phys. 47 (3), 433—438 (2006).Algazin S.D. Numerical analysis of free vibrations of a beam with oscillators, J. Appl. Mech. Techn. Phys. 47 (4), 573—581 (2006).Algazin S.D. Numerical analysis of free vibrations of a beam with oscillators, J. Appl. Mech. Techn. Phys. 47 (4), 573—581 (2006).Stammberger M., Voss H. An unsymmetric eigenproblem governing vibrations of a plate with attached loads, in : Proceedings of the 12th International Conference on Civil, Structural and Environmental Engineering Computing 2009. Funchal, Madeira, Portugal, 1—4 September 2009, Vol. 1, 2880–2889 (Curran Associates, Inc., New York, 2010).Stammberger M., Voss H. An unsymmetric eigenproblem governing vibrations of a plate with attached loads, in : Proceedings of the 12th International Conference on Civil, Structural and Environmental Engineering Computing 2009. Funchal, Madeira, Portugal, 1—4 September 2009, Vol. 1, 2880–2889 (Curran Associates, Inc., New York, 2010).Su Y., Bai Z. Solving rational eigenvalue problems via linearization, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 32 (1), 201–216 (2011).Su Y., Bai Z. Solving rational eigenvalue problems via linearization, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 32 (1), 201–216 (2011).Alam F., Behera N. Linearizations for rational matrix functions and Rosenbrock system polynomials, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 37 (1), 354–380 (2016).Alam F., Behera N. Linearizations for rational matrix functions and Rosenbrock system polynomials, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 37 (1), 354–380 (2016).G¨uttel S., Tisseur F. Solving rational eigenvalue problems via linearization, Acta Numerica 26, 1–94 (2017).G¨uttel S., Tisseur F. Solving rational eigenvalue problems via linearization, Acta Numerica 26, 1–94 (2017).Прочность, устойчивость, колебания, Т. 3, под ред. Биргера И.А., Пановко Я.Г. (Машиностроение, М., 1968).Прочность, устойчивость, колебания, Т. 3, под ред. Биргера И.А., Пановко Я.Г. (Машиностроение, М., 1968).Adams D.A. Sobolev spaces (Academic Press, New York, 1975).Adams D.A. Sobolev spaces (Academic Press, New York, 1975).Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных (Высш. шк., М., 1977).Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных (Высш. шк., М., 1977).Blum H., Rannacher R. On the boundary value problem of the biharmonic operator on domains with angular corners, Math. Meth. Appl. Sci. 2, 556–581 (1980).Blum H., Rannacher R. On the boundary value problem of the biharmonic operator on domains with angular corners, Math. Meth. Appl. Sci. 2, 556–581 (1980).Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач (Мир, М., 1980).Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач (Мир, М., 1980).Solov’ev S.I. Approximation of variational eigenvalue problems, Diff. Equat. 46 (7), 1030–1041 (2010).Solov’ev S.I. Approximation of variational eigenvalue problems, Diff. Equat. 46 (7), 1030–1041 (2010).Solov’ev S.I. Approximation of sign-indefinite spectral problems, Diff. Equat. 48 (7), 1028–1041 (2012).Solov’ev S.I. Approximation of sign-indefinite spectral problems, Diff. Equat. 48 (7), 1028–1041 (2012).Babuˇska I., Osborn J.E. Finite element–Galerkin approximation of the eigenvalues and eigenvectors of selfadjoint problems, Math. Comp. 52 (186), 275–297 (1989).Babuˇska I., Osborn J.E. Finite element–Galerkin approximation of the eigenvalues and eigenvectors of selfadjoint problems, Math. Comp. 52 (186), 275–297 (1989).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.