izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2026-1-72-84izvuzmath-251Research ArticleСтатьиКоммутативные локальные кольца, верхнетреугольные матрицы над которыми представимы в виде суммы коммутирующих идемпотента и q-потентаCommutative local rings over which every upper-triangular matrix is the sum of an idempotent and a q-potent that commuteТапкинД. Т.TapkinD. T.

Тапкин Даниль Тагирзянович.

ул. Кремлевская, д. 18, Казань, 420008

Danil T. Tapkin.

18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008

danil.tapkin@yandex.ruКазанский федеральный университетРоссияKazan Federal UniversityRussian Federation202612022026017284Copyright © Тапкин Д.Т., 20262026Тапкин Д.Т.Tapkin D.T.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/251

Исследована задача представимости вехнетреугольных матриц над коммутативными локальными кольцами в виде суммы коммутирующих идемпотента и $q$-потента. Для колец Галуа и колец вида $\mathbb{F}_{p^{k}}[x]/\langle x^{r} \rangle$ получены необходимые и достаточные условия представимости.

We study commutative local rings over which every upper-triangular matrix is the sum of an idempotent and a $q$-potent that commute. For Galois rings and rings of the form $\mathbb{F}_{p^{k}}[x]/\langle x^{r} \rangle$, necessary and sufficient criterion are provided.

матричное кольцокоммутативное локальное кольцоидемпотент$q$-потенткольцо Галуанильпотентный идеалmatrix ringcommutative local ringidempotent$q$-potentGalois ringnilpotent idealРабота поддержана грантом Российского научного фонда и Кабинета Министров Республики Татарстан (проект № 23-21-10086).ReferencesHirano Y., Tominaga H. Rings in which every element is the sum of two idempotents, Bull. Aust. Math. Soc. 37 (2), 161–164 (1988).Hirano Y., Tominaga H. Rings in which every element is the sum of two idempotents, Bull. Aust. Math. Soc. 37 (2), 161–164 (1988).Tang G., Zhou Y., Su H. Matrices over a commutative ring as sums of three idempotents or three involutions, Linear Multilinear Algebra 67 (2), 267–277 (2019).Tang G., Zhou Y., Su H. Matrices over a commutative ring as sums of three idempotents or three involutions, Linear Multilinear Algebra 67 (2), 267–277 (2019).Ying Z., Ko¸san T., Zhou Y. Rings in which every element is a sum of two tripotents, Canad. Math. Bull. 59 (3), 661–672 (2016).Ying Z., Ko¸san T., Zhou Y. Rings in which every element is a sum of two tripotents, Canad. Math. Bull. 59 (3), 661–672 (2016).Zhou Y. Rings in which elements are sum of nilpotents, idempotents and tripotents, J. Algebra Appl. 17 (1), 1850009 (2018).Zhou Y. Rings in which elements are sum of nilpotents, idempotents and tripotents, J. Algebra Appl. 17 (1), 1850009 (2018).Абызов А.Н., Тапкин Д.Т. Кольца, матрицы на которыми представимы в виде суммы идемпотентной матрицы и q-потентной матрицы, Сиб. матем. журн. 62 (1), 3–18 (2021).Абызов А.Н., Тапкин Д.Т. Кольца, матрицы на которыми представимы в виде суммы идемпотентной матрицы и q-потентной матрицы, Сиб. матем. журн. 62 (1), 3–18 (2021).Абызов А.Н. Строго q-ниль-чистые кольца, Сиб. матем. журн. 60 (2), 257–273 (2019).Абызов А.Н. Строго q-ниль-чистые кольца, Сиб. матем. журн. 60 (2), 257–273 (2019).Abyzov A.N., Tapkin D.T. On rings with xn — x nilpotent, J. Algebra Appl. 21 (6), 2250111 (2022).Abyzov A.N., Tapkin D.T. On rings with xn — x nilpotent, J. Algebra Appl. 21 (6), 2250111 (2022).Tang G., Zhou Y. An embedding theorem on triangular matrix rings, Linear Multilinear Algebra 65 (5), 882–890 (2017).Tang G., Zhou Y. An embedding theorem on triangular matrix rings, Linear Multilinear Algebra 65 (5), 882–890 (2017).McDonald B.R. Finite Rings with Identity (Marcel Dekker, New York, NY, USA, 1974).McDonald B.R. Finite Rings with Identity (Marcel Dekker, New York, NY, USA, 1974).Deng G., Somer M. On the symmetric digraphs from the kth power mapping on finite commutative rings, Discr. Math. Algorithms Appl. 7 (1), 1450064 (2015).Deng G., Somer M. On the symmetric digraphs from the kth power mapping on finite commutative rings, Discr. Math. Algorithms Appl. 7 (1), 1450064 (2015).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.