izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2025-11-70-82izvuzmath-238Research ArticleСтатьиПрямая и обратная коэффициентные задачи для дробного диффузионно-волнового уравнения с производной Римана-Лиувилля по времениDirect and inverse coefficient problems for the fractional diffusion wave equation with the Riemann—Liouville time derivativeТурдиевХ. Х.TurdievX. X.

Халим Хамроевич Турдиев 

д. 46, г. Ташкент, 100170, 

ул. М. Икбол, д. 11, г. Бухара, 200118

Halim Hamroevich Turdiev

9 University str., Tashkent, 100174, 

11 M.Ikbol str., Bukhara, 200100 

h.h.turdiev@buxdu.uzРаджабоваМ. О.RajabovaM. O.

Мадина Ойбек кизи Ражабова

ул. М. Икбол, д. 11, г. Бухара, 200118

Madina Oybek kizi Rajabova

11 M.Ikbol str., Bukhara, 200100 

rajabovamadina31@gmail.comХоликовС. Х.XoliqovS. H.

Суюнджон Хамрокул Угли Холиков 

ул. Ибн Сино, д. 45, г. Навои, 210100

Suyunjon Hamroqul ugli Xolikov

45 Ibn Sino str., Navoi, 210100

xolikovsuyunjon@gmail.comКараматовБ. Т.KaramatovB. T.

Болатбек Тиншбекович Караматов 

ул. Ибн Сино, д. 45, г. Навои, 210100

Bolatbek Tinshbekovich Karamatov

45 Ibn Sino str., Navoi, 210100

 

karamatovbolatbekl989@gmail.comИнститут математики им. В.И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан; Бухарский государственный университетУзбекистанV.I. Romanovskiy Institute of Mathematics of the Academy of Science of the Republic of Uzbekistan; Bukhara State UniversityUzbekistanБухарский государственный университетУзбекистанBukhara State UniversityUzbekistanНавоийский государственный педагогический институтУзбекистанNavoi State Pedagogical InstituteUzbekistan2025251120250117082Copyright © Турдиев Х.Х., Раджабова М.О., Холиков С.Х., Караматов Б.Т., 20252025Турдиев Х.Х., Раджабова М.О., Холиков С.Х., Караматов Б.Т.Turdiev X.X., Rajabova M.O., Xoliqov S.H., Karamatov B.T.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/238

В данной статье рассматривается обратная задача для дробного волнового урав­нения с производной Римана-Лиувилля. Прямой задачей является нелокальная начально­краевая задача для этого уравнения с начальными данными типа Коши и нелокальными гра­ничными условиями. В качестве условия переопределения задается нелокальное интеграль­ное условие относительно прямого решения задачи. Методом Фурье данная задача сводится к эквивалентным интегральным уравнениям. Затем, используя функцию Миттаг-Леффлера и обобщенное сингулярное неравенство Гронуолла, получаем априорную оценку решения че­рез неизвестный коэффициент. Далее исследуется обратная задача относительно определения этого коэффициента. Обратная задача сводится к эквивалентному интегралу уравнения типа Вольтерра. Для решения этого уравнения используется принцип сжимающих отображений. Доказаны локальное существование и глобальная единственность решения обратной задачи.

This article considers the inverse problem in the fractional wave equation with the Riemann-Louville derivative. In this case, the direct problem is an initial nonlocal boundary value problem for this equation with initial Cauchy type and nonlocal boundary conditions. As a redefinition condition, a nonlocal integral condition with respect to the direct solution of the problem is specified. Using the Fourier method, this problem is reduced to equivalent integral equations. Then, using the Mittag-Leffler function and the generalized singular Gronwall inequality, we obtain an a priori estimate of the solution in terms of the unknown coefficient, which we will need to investigate for the inverse problem. The inverse problem is reduced to the equivalent integral of a Volterra type equation. To solve this equation, the contraction mapping principle is used. Local existence and global uniqueness have been proven.

дробная производнаядробный интеграл Римана-Лиувиллядробная про¬изводная Римана-Лиувилляпрямая задачаобратная задачаинтегральное уравнениеряд Фурьетеорема Банаха о неподвижной точкеFractional derivativefractional Riemann-Liouville integralfractional Riemann-Liouville derivativedirect probleminverse problemintegral equationFourier seriesBanach fixed point theoremReferencesУчайкин В.В. Метод дробных производных (Изд-во «Артишок», Ульяновск, 2008).Учайкин В.В. Метод дробных производных (Изд-во «Артишок», Ульяновск, 2008).Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and application of fractional differetial equations (Elsevier, Amsterdam, 2006).Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and application of fractional differetial equations (Elsevier, Amsterdam, 2006).Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Fractional integrals and derivatives: Theory and applications, (Gordon Breach Sci., Yveron, 1993).Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Fractional integrals and derivatives: Theory and applications, (Gordon Breach Sci., Yveron, 1993).Podlubny I. Fractional Differential Equations. Mathematics in Science and Engineering 198 (Acad. Press, New York, 1999).Podlubny I. Fractional Differential Equations. Mathematics in Science and Engineering 198 (Acad. Press, New York, 1999).Berkowitz B., Scher H. and Silliman S.E. Anomalous transport in laboratory-scale, heterogeneous porous media, Water Resour. Res. 36 (5), 149–158 (2000).Berkowitz B., Scher H. and Silliman S.E. Anomalous transport in laboratory-scale, heterogeneous porous media, Water Resour. Res. 36 (5), 149–158 (2000).Scalas E., Gorenflo O.R. and Mainardi F. Fractional calculus and continuous-time finance, Phys. A. 284 (1), 376–384 (2000).Scalas E., Gorenflo O.R. and Mainardi F. Fractional calculus and continuous-time finance, Phys. A. 284 (1), 376–384 (2000).Metzler R. and Klafter J. Subdiffusive transport close to thermal equilibrium: from the Langevin equation to fractional diffusion, Phys. Rev. E. 61, 6308–6311 (2000).Metzler R. and Klafter J. Subdiffusive transport close to thermal equilibrium: from the Langevin equation to fractional diffusion, Phys. Rev. E. 61, 6308–6311 (2000).Sakamoto K. and Yamamoto M. Initial value/boundary value problems for fractional diffusion-wave equations and applications to some inverse problems, J. Math. Anal. Appl. 382 (1), 426–447 (2011).Sakamoto K. and Yamamoto M. Initial value/boundary value problems for fractional diffusion-wave equations and applications to some inverse problems, J. Math. Anal. Appl. 382 (1), 426–447 (2011).Durdiev D.K., Shishkina E. and Sitnik S. The explicit formula for solution of anomalous diffusion equation in the multidimensional space, Lobachevskii J. Math. 42 (6), 1264–1273 (2021).Durdiev D.K., Shishkina E. and Sitnik S. The explicit formula for solution of anomalous diffusion equation in the multidimensional space, Lobachevskii J. Math. 42 (6), 1264–1273 (2021).Турдиев Х.Х. Обратные коэффициентные задачи для временно-дробного волнового уравнения с обобщенной производной Римана–Лиувилля по времени, Изв. вузов. Матем. (10), 46–59 (2023).Турдиев Х.Х. Обратные коэффициентные задачи для временно-дробного волнового уравнения с обобщенной производной Римана–Лиувилля по времени, Изв. вузов. Матем. (10), 46–59 (2023).Акрамова Д.И. Обратная коэффициентная задача для дробно-диффузионного уравнения с оператором Бесселя, Изв. вузов. Матем. (9), 45–57 (2023).Акрамова Д.И. Обратная коэффициентная задача для дробно-диффузионного уравнения с оператором Бесселя, Изв. вузов. Матем. (9), 45–57 (2023).Durdiev D.K., Turdiev H.H. Inverse coefficient problem for a time-fractional wave equation with initialboundary and integral type overdetermination conditions, Math. Meth. Appl. Sci. 47 (6), 5329–5340 (2024).Durdiev D.K., Turdiev H.H. Inverse coefficient problem for a time-fractional wave equation with initialboundary and integral type overdetermination conditions, Math. Meth. Appl. Sci. 47 (6), 5329–5340 (2024).Durdiev D.K., Turdiev H.H. Inverse coefficient problem for fractional wave equation with the generalized Riemann–Liouville time derivative, Indian J. Pure Appl. Math. 56 (3), 751–767 (2023), DOI: 10.1007/s13226-023-00517-9.Durdiev D.K., Turdiev H.H. Inverse coefficient problem for fractional wave equation with the generalized Riemann–Liouville time derivative, Indian J. Pure Appl. Math. 56 (3), 751–767 (2023), DOI: 10.1007/s13226-023-00517-9.Дурдиев Д.К., Жумаев Ж.Ж. Обратная задача определения ядра интегро-дифференциального уравнения дробной диффузии в ограниченной области, Изв. вузов. Матем. (10), 22–35 (2023).Дурдиев Д.К., Жумаев Ж.Ж. Обратная задача определения ядра интегро-дифференциального уравнения дробной диффузии в ограниченной области, Изв. вузов. Матем. (10), 22–35 (2023).Alimov Sh., Ashurov R. Inverse problem of determining an order of the Caputo time-fractional derivative for a subdiffusion equation, J. Inv. and Ill-posed Probl. 28 (5), 651–658 (2020).Alimov Sh., Ashurov R. Inverse problem of determining an order of the Caputo time-fractional derivative for a subdiffusion equation, J. Inv. and Ill-posed Probl. 28 (5), 651–658 (2020).Totieva Z.D. A global solvability of a two-dimensional kernel determination problem for a viscoelasticity equation, Math. Methods Appl. Sci. 45 (12), 7555–7575 (2022).Totieva Z.D. A global solvability of a two-dimensional kernel determination problem for a viscoelasticity equation, Math. Methods Appl. Sci. 45 (12), 7555–7575 (2022).Durdiev D., Turdiev H., Boltaev A. The problem of determining the one-dimensional kernel for the system of viscoelasticity in the anisotropic medium, AIP Conf. Proc. 3004 (1), article 040015 (2024), DOI: 10.1063/5.0199987.Durdiev D., Turdiev H., Boltaev A. The problem of determining the one-dimensional kernel for the system of viscoelasticity in the anisotropic medium, AIP Conf. Proc. 3004 (1), article 040015 (2024), DOI: 10.1063/5.0199987.Bozorov Z., Turdiev H. The problem of finding the kernels in the system for integro-differential acoustic equations, AIP Conf. Proc. 3004 (1), article 040010 (2024), DOI: 10.1063/5.0199964.Bozorov Z., Turdiev H. The problem of finding the kernels in the system for integro-differential acoustic equations, AIP Conf. Proc. 3004 (1), article 040010 (2024), DOI: 10.1063/5.0199964.Дзарахохов А.В., Шишкина Э.Л. Задача для смешанного уравнения с дробной степенью оператора Бесселя, Вестн. КРАУНЦ. Физ.-матем. науки 42 (1), 37–57 (2023).Дзарахохов А.В., Шишкина Э.Л. Задача для смешанного уравнения с дробной степенью оператора Бесселя, Вестн. КРАУНЦ. Физ.-матем. науки 42 (1), 37–57 (2023).Тотиева Ж.Д. Двумерная коэффициентная обратная задача для уравнения вязкоупругоcти в cлабо горизонтально-неоднородной cреде, ТМФ 213 (2), 193–213 (2022).Тотиева Ж.Д. Двумерная коэффициентная обратная задача для уравнения вязкоупругоcти в cлабо горизонтально-неоднородной cреде, ТМФ 213 (2), 193–213 (2022).Дурдиев Д.К., Турдиев Х.Х. Обратная задача для гиперболической системы первого порядка с памятью, Дифференц. уравнения 56 (12), 1666–1675 (2020).Дурдиев Д.К., Турдиев Х.Х. Обратная задача для гиперболической системы первого порядка с памятью, Дифференц. уравнения 56 (12), 1666–1675 (2020).Дурдиев Д.К., Турдиев Х.Х. Задача определения ядер в системе интегродифференциальных уравнений Максвелла, Сиб. журн. индустр. матем. 24 (2), 38–61 (2021).Дурдиев Д.К., Турдиев Х.Х. Задача определения ядер в системе интегродифференциальных уравнений Максвелла, Сиб. журн. индустр. матем. 24 (2), 38–61 (2021).Дурдиев Д.К., Турдиев Х.Х. Задача определения ядер в системе интегро-дифференциальных уравнений акустики, Дальневост. матем. журн. 23 (2), 190–210 (2023).Дурдиев Д.К., Турдиев Х.Х. Задача определения ядер в системе интегро-дифференциальных уравнений акустики, Дальневост. матем. журн. 23 (2), 190–210 (2023).Дурдиев Д.К., Нуриддинов Ж.З. Единственность задачи определения ядра в интегро-дифференциальном параболическом уравнении с переменными коэффициентами, Изв. вузов. Матем. (11), 3–14 (2023).Дурдиев Д.К., Нуриддинов Ж.З. Единственность задачи определения ядра в интегро-дифференциальном параболическом уравнении с переменными коэффициентами, Изв. вузов. Матем. (11), 3–14 (2023).Дурдиев У.Д. Обратная задача об источнике для уравнения вынужденных колебаний балки, Изв. вузов. Матем. (8), 10–22 (2023).Дурдиев У.Д. Обратная задача об источнике для уравнения вынужденных колебаний балки, Изв. вузов. Матем. (8), 10–22 (2023).Сафаров Ж.Ш. Оценки устойчивости решений некоторых обратных задач для интегро-дифференциальных уравнений, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки 3, 75–82 (2014).Сафаров Ж.Ш. Оценки устойчивости решений некоторых обратных задач для интегро-дифференциальных уравнений, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки 3, 75–82 (2014).Дурдиев Д.К., Сафаров Ж.Ш. Обратная задача об определении одномерного ядра уравнения вязкоупругости в ограниченной области, Матем. заметки 97 (6), 855–867 (2015).Дурдиев Д.К., Сафаров Ж.Ш. Обратная задача об определении одномерного ядра уравнения вязкоупругости в ограниченной области, Матем. заметки 97 (6), 855–867 (2015).Safarov J.Sh., Durdiev D.K. Inverse problem for an integro-differential wave equation in a cylindrical domain, Lobachevskii J. Math. 43 (11), 3271–3281 (2023).Safarov J.Sh., Durdiev D.K. Inverse problem for an integro-differential wave equation in a cylindrical domain, Lobachevskii J. Math. 43 (11), 3271–3281 (2023).Durdiev D.K., Toshev D.A., Turdiev H.H. Determining a source function in the mixed parabolic-hyperbolic equation with characteristic type change Line, Lobachevskii J. Math. 45 (3), 1032–1043 (2024).Durdiev D.K., Toshev D.A., Turdiev H.H. Determining a source function in the mixed parabolic-hyperbolic equation with characteristic type change Line, Lobachevskii J. Math. 45 (3), 1032–1043 (2024).Дурдиев Д.К. Коэффициентная обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с нехарактеристической линией изменения типа, Изв. вузов. Матем. (3), 38–49 (2024).Дурдиев Д.К. Коэффициентная обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с нехарактеристической линией изменения типа, Изв. вузов. Матем. (3), 38–49 (2024).Рузиев М.Х. Краевая задача для уравнения смешанного типа с сингулярными коэффициентами, Изв. вузов. Матем. (7), 18–29 (2022).Рузиев М.Х. Краевая задача для уравнения смешанного типа с сингулярными коэффициентами, Изв. вузов. Матем. (7), 18–29 (2022).Henry D. Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations (Springer, Berlin, 1981).Henry D. Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations (Springer, Berlin, 1981).Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (Наука., М., 1976).Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (Наука., М., 1976).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.