izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2025-11-48-69izvuzmath-237Research ArticleСтатьиОценка остаточного члена в разложении устойчивого закона при крайних значениях параметра асимметрииEstimation of the remainder term in the expansion of the stable law for extreme values of the asymmetry parameterСаенкоВ. В.SaenkoV. V.

Саенко Вячеслав Владимирович

ул. Л. Толстого, д. 42, г. Ульяновск, 432017

Viacheslav V. Saenko

42 L. Tolstoy str., Ulyanovsk, 432017

vvsaenko@inbox.ruУльяновский государственный университетРоссияUlyanovsk State UniversityRussian Federation2025251120250114869Copyright © Саенко В.В., 20252025Саенко В.В.Saenko V.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/237

В работе исследуется разложение строго устойчивого закона при x ^ 0 и x ^ ж в случае крайних значений параметра асимметрии. Получены асимптотические разложения плотности вероятности и функции распределения, а также оценки остаточных членов этих разложений. На основе оценок остаточных членов представлен критерий, позволяющий опре­делить область координат, внутри которой возможно использование этих асимптотических разложений. Представленные расчеты подтверждают справедливость полученных выраже­ний.

The paper examines the expansion of the strictly stable law for x ^ 0 and x ^ x in the case of extreme values of the asymmetry parameter. Asymptotic expansions of the probability density and distribution functions are obtained, as well as estimates of the residual terms of these expansions. Based on the obtained estimates of the residual terms, a criterion is presented that allows determining the coordinate region within which it is possible to use these asymptotic expansions. The presented calculations confirm the validity of the obtained expressions.

устойчивый законразложение устойчивого законаплотность вероятностифункция распределенияметод Лапласаасимптотическое разложениеполином Беллаstable lawexpansion of stable lawprobability densitydistribution functionLaplace methodasymptotic expansionBell polynomialReferencesPollard H. The representation of mathrm{e}mathrm{x}mathrm{p}( - x lambda ) as a Laplace integral, Bull. Amer. Math. Soc. 52 (10), 908–910 (1946), DOI: 10.1090/S0002-9904-1946-08672-3.Pollard H. The representation of mathrm{e}mathrm{x}mathrm{p}( - x lambda ) as a Laplace integral, Bull. Amer. Math. Soc. 52 (10), 908–910 (1946), DOI: 10.1090/S0002-9904-1946-08672-3.Bergstr¨om H. On some expansions of stable distribution functions, Arkiv Matem. 2 (4), 375–378 (1952), DOI: doi.org/10.1007/BF02591503.Bergstr¨om H. On some expansions of stable distribution functions, Arkiv Matem. 2 (4), 375–378 (1952), DOI: doi.org/10.1007/BF02591503.Schneider W. R. Stable distributions: Fox function representation and generalization, Stoch. Proc. Class. Quant. Syst. 262, 497–511, ed. by Albeverio S., Casati G., Merlini D. (Springer Berlin Heidelberg, Berlin, 1986), DOI: 10.1007/3540171665_92.Schneider W. R. Stable distributions: Fox function representation and generalization, Stoch. Proc. Class. Quant. Syst. 262, 497–511, ed. by Albeverio S., Casati G., Merlini D. (Springer Berlin Heidelberg, Berlin, 1986), DOI: 10.1007/3540171665_92.Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, V. 2 (John Weley & Sons inc, New York, 1971).Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, V. 2 (John Weley & Sons inc, New York, 1971).Золотарев В.М. Одномерные устойчивые распределения (Наука, М., 1983).Золотарев В.М. Одномерные устойчивые распределения (Наука, М., 1983).Uchaikin V.V. Zolotarev V.M. Chance and stability. Stable Distributions and their Applications (VSP, Utrecht, 1999).Uchaikin V.V. Zolotarev V.M. Chance and stability. Stable Distributions and their Applications (VSP, Utrecht, 1999).Ament S., O’Neil M. Accurate and efficient numerical calculation of stable densities via optimized quadrature and asymptotics, Stat. Comput. 28 (1), 171–185 (2018), DOI: 10.1007/s11222-017-9725-y.Ament S., O’Neil M. Accurate and efficient numerical calculation of stable densities via optimized quadrature and asymptotics, Stat. Comput. 28 (1), 171–185 (2018), DOI: 10.1007/s11222-017-9725-y.Saenko V.V. The calculation of the probability density and distribution function of a strictly stable law in the vicinity of zero, Mathematics 10 (20), article 3861 (2022), DOI: 10.3390/math10203861.Saenko V.V. The calculation of the probability density and distribution function of a strictly stable law in the vicinity of zero, Mathematics 10 (20), article 3861 (2022), DOI: 10.3390/math10203861.Saenko V.V. The calculation of the density and distribution functions of strictly stable laws, Mathematics 8 (5), article 775 (2020), DOI: 10.3390/math8050775.Saenko V.V. The calculation of the density and distribution functions of strictly stable laws, Mathematics 8 (5), article 775 (2020), DOI: 10.3390/math8050775.Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции (Гостехиздат, М., 1957).Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции (Гостехиздат, М., 1957).Федорюк М.В. Асимптотика: Интегралы и ряды (Наука, М., 1987).Федорюк М.В. Асимптотика: Интегралы и ряды (Наука, М., 1987).Saenko V.V. Integral Representation of the Fractional Stable Density, J. Math. Sci. 248 (1), 51–66 (2020), DOI: 10.1007/s10958-020-04855-5.Saenko V.V. Integral Representation of the Fractional Stable Density, J. Math. Sci. 248 (1), 51–66 (2020), DOI: 10.1007/s10958-020-04855-5.Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (Физматгиз, М., 1963).Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (Физматгиз, М., 1963).Riordan J. An Intoduction to Combinatorial Analysis (John Wiley & Sons, Inc., New York, 1958).Riordan J. An Intoduction to Combinatorial Analysis (John Wiley & Sons, Inc., New York, 1958).Comtet L. Advanced Combinatorics. The Art of Finite and Infinite Expansions (D. Reidel Publ. Company, 1974).Comtet L. Advanced Combinatorics. The Art of Finite and Infinite Expansions (D. Reidel Publ. Company, 1974).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.