izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2025-10-78-82izvuzmath-230Research ArticleСтатьиПоля, матрицы над которыми представимы в виде суммы потентных матриц и нильпотентной матрицыFields over which matrices can be represented as the sum of potent and nilpotent matricesАбызовА. Н.AbyzovA. N.

Адель Наилевич Абызов

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, 

Московский проси., д. 9, г. Санкт-Петербург, 190031

Adel N. Abyzov

18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008,

9 Moskovsky Ave., Saint Petersburg, 190031 

ТапкинД. Т.TapkinD. T.

Даниль Тагирзянович Тапкин

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, 

Московский проси., д. 9, г. Санкт-Петербург, 190031

Danil T. Tapkin

18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008,

9 Moskovsky Ave., Saint Petersburg, 190031 

danil.tapkin@yandex.ruКазанский федеральный университет; Петербургский государственный университет путей сообщения Императора АлександраРоссияKazan Federal University; Emperor Alexander I St. Petersburg State Transport UniversityRussian Federation2025251020250107882Copyright © Абызов А.Н., Тапкин Д.Т., 20252025Абызов А.Н., Тапкин Д.Т.Abyzov A.N., Tapkin D.T.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/230

Исследуются поля, каждая матрица над которыми представима в виде суммы двух потентных матриц и нильпотентной матрицы. В частности, показано, что над полем P всякая матрица представима в виде суммы двух идемпотентных матриц и нильпотентной матрицы в точности тогда, когда либо P = F2, либо P = F3.

We study fields over which every matrix can be represented as a sum of two potent matrices and a nilpotent matrix. In particular, it is shown that over a field P every matrix can be represented as a sum of two idempotent matrices and a nilpotent matrix exactly when either P = F2, or P = F3.

q-потентконечное полематрицы над конечными полямиq-potentfinite fieldmatrices over finite fieldsReferencesBreaz S., C˘alug˘areanu G., Danchev P., Micu T. Nil-clean matrix rings, Linear Algebra Appl. 439 (10), 3115–3119 (2013).Breaz S., C˘alug˘areanu G., Danchev P., Micu T. Nil-clean matrix rings, Linear Algebra Appl. 439 (10), 3115–3119 (2013).Абызов А.Н., Мухаметгалиев М.И. О некоторых матричных аналогах малой теоремы Ферма, Матем. заметки 101 (2), 163–168 (2017).Абызов А.Н., Мухаметгалиев М.И. О некоторых матричных аналогах малой теоремы Ферма, Матем. заметки 101 (2), 163–168 (2017).Абызов А.Н., Тапкин Д.Т. Кольца, матрицы над которыми представимы в виде суммы идемпотентной матрицы и q-потентной матрицы, Сиб. матем. журн. 62 (1), 3–18 (2021).Абызов А.Н., Тапкин Д.Т. Кольца, матрицы над которыми представимы в виде суммы идемпотентной матрицы и q-потентной матрицы, Сиб. матем. журн. 62 (1), 3–18 (2021).Breaz S. Matrices over finite fields as sums of periodic and nilpotent elements, Linear Algebra Appl. 555, 92–97 (2018).Breaz S. Matrices over finite fields as sums of periodic and nilpotent elements, Linear Algebra Appl. 555, 92–97 (2018).Abyzov A.N., Tapkin D.T. When is every linear transformation a sum of a q-potent one and a locally nilpotent one?, Linear Algebra Appl. 709, 124–131 (2025).Abyzov A.N., Tapkin D.T. When is every linear transformation a sum of a q-potent one and a locally nilpotent one?, Linear Algebra Appl. 709, 124–131 (2025).Abyzov A.N., Tapkin D.T. When is every matrix over a ring the sum of two tripotents?, Linear Algebra Appl. 630, 316–325 (2021).Abyzov A.N., Tapkin D.T. When is every matrix over a ring the sum of two tripotents?, Linear Algebra Appl. 630, 316–325 (2021).Абызов А.Н., Тапкин Д.Т. Представимость матриц над коммутативными кольцами в виде суммы двух потентных матриц, Сиб. матем. журн. 65 (6), 1039–1060 (2024).Абызов А.Н., Тапкин Д.Т. Представимость матриц над коммутативными кольцами в виде суммы двух потентных матриц, Сиб. матем. журн. 65 (6), 1039–1060 (2024).Hirano Y., Tominaga H. Rings in which every element is the sum of two idempotents, Bull. Austral. Math. Soc. 37 (2), 161–164 (1988).Hirano Y., Tominaga H. Rings in which every element is the sum of two idempotents, Bull. Austral. Math. Soc. 37 (2), 161–164 (1988).Tang G., Zhou Y., Su H. Matrices over a commutative ring as sums of three idempotents or three involutions, Linear Multilinear Algebra 67 (2), 267–277 (2019).Tang G., Zhou Y., Su H. Matrices over a commutative ring as sums of three idempotents or three involutions, Linear Multilinear Algebra 67 (2), 267–277 (2019).Pazzis C. de S. On sums of idempotent matrices over a field of positive characteristic, Linear Algebra Appl. 433 (4), 856–866 (2010).Pazzis C. de S. On sums of idempotent matrices over a field of positive characteristic, Linear Algebra Appl. 433 (4), 856–866 (2010).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.