izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2025-9-81-100izvuzmath-223Research ArticleСтатьиОб одном семействе копул, частично совпадающих с границами Фреше-ХёффдингаOn a family of copulas partially coinciding with the Frechet–Hoeffding boundariesШиряеваЛ. К.ShiryaevaL. K.

Людмила Константиновна Ширяеваул. Московское шоссе, д. 34, г. Самара, 443086

Ludmila Konstantinovna Shiryaeva34 Moskovskoe High., Samara, 443086

Shiryeva_LK@mail.ruСамарский национальный исследовательский университет им. академика С.П. КоролеваРоссияSamara National Research UniversityRussian Federation2025111020251981100Copyright © Ширяева Л.К., 20252025Ширяева Л.К.Shiryaeva L.K.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/223

Изучаются статистики теста Граббса, т. е. абсолютные величины экстремальных стьюдентизированных отклонений n случайных наблюдений от среднего. Рассматривается случай, когда случайные наблюдения имеют произвольные непрерывные маргинальные распределения. Доказывается существование двух областей: в одной из них совместная функция распределения этих статистик есть линейная функция от их маргинальных функций распределения, в другой она обращается в нуль. Из совместного распределения статистик Граббса строится копула Граббса. Доказывается, что в случае n>3 копула Граббса совпадает с нижней границей Фреше-Хёффдинга в двух подмножествах единичного квадрата. В случае n=3 копула Граббса является нижней границей Фреше-Хёффдинга. Повернутая на 180∘ версия копулы Граббса также частично совпадает с нижней границей Фреше-Хёффдинга (в случае n>3) и является нижней границей Фреше-Хёффдинга (случай n=3). Доказывается, что повернутые на 90∘ и 270∘ версии копулы Граббса частично совпадают с верхней границей Фреше-Хёффдинга (в случае n>3) и становятся верхней границей Фреше-Хёффдинга (случай n=3).

The Grubbs's test statistics are studied, i.e. absolute values of extreme studentized deviations of n random observations from the mean. We consider the case when random observations have arbitrary continuous marginal distributions. The existence of two regions is proved; in one of them, the joint distribution function of these statistics is a linear function of their marginal distribution functions, and in the other, the joint distribution function is zero. We construct a Grubbs’s copula from the joint distribution of Grubbs’s statistics. For the case n>3, the existence of two domains within the unit square in which the Grubbs's copula coincides with the lower Frechet-Hoeffding boundary is proved. In the case of n=3, the Grubbs's copula is the Frechet-Hoeffding lower bound. The Grubbs's copula rotated by 180∘ also partially coincides with the Frechet-Hoeffding lower bound (in the case of n>3) and is the Frechet-Hoeffding lower bound (in the case of n=3). We prove that Grubbs's copulas rotated by 90∘ and 270∘ partially coincide with the Frechet-Hoeffding upper bound (in the case of n>3) and become the Frechet-Hoeffding upper bound (in the case n=3).

экстремальные стьюдентизированные отклонения случайных наблюдений от среднегокопуланоситель копулынесингулярная копуланижняя граница Фреше–Хёффдингаверхняя граница Фреше–Хёффдингаповернутая версия копулыextreme studentized deviations of observations from the meancopulasupport of a copulanonsingular copulaFrechet-Hoeffding lower boundFrechet-Hoeffding upper boundrotated version of a copulaReferencesGenest C., Favre A.-C. Everything you always wanted to know about copula modelling but were afraid to ask, J. Hydrologic Eng. 12 (4), 347–368 (2007).Genest C., Favre A.-C. Everything you always wanted to know about copula modelling but were afraid to ask, J. Hydrologic Eng. 12 (4), 347–368 (2007).Bj¨ornham O., Br¨annstr¨om N., Persson L. Absolutely continuous copulas with prescribed support constructed by differential equations, with an application in toxicology, Commun. Stat. – Theory and Methods 51 (19), 6601–6625 (2022).Bj¨ornham O., Br¨annstr¨om N., Persson L. Absolutely continuous copulas with prescribed support constructed by differential equations, with an application in toxicology, Commun. Stat. – Theory and Methods 51 (19), 6601–6625 (2022).Jaworski P. On copulas with a trapezoid support, Depend. Model. 11 (1), 1–23 (2023).Jaworski P. On copulas with a trapezoid support, Depend. Model. 11 (1), 1–23 (2023).Nelsen R.B. An introduction to copulas. 2nd ed. Springer Series in Statistics. (Springer, New York, 2006).Nelsen R.B. An introduction to copulas. 2nd ed. Springer Series in Statistics. (Springer, New York, 2006).Fontanari A., Cirillo P., Oosterlee C.W. Lorenz-generated bivariate Archimedean copulas, Depend. Model. 8 (1), 186–209 (2020).Fontanari A., Cirillo P., Oosterlee C.W. Lorenz-generated bivariate Archimedean copulas, Depend. Model. 8 (1), 186–209 (2020).Durante F., Jaworski P. Absolutely continuous copulas with given diagonal sections, Commun. Stat. – Theory and Methods 37 (18), 2924–2942 (2008).Durante F., Jaworski P. Absolutely continuous copulas with given diagonal sections, Commun. Stat. – Theory and Methods 37 (18), 2924–2942 (2008).Jwaid T., De Baets B., Kalick´a J., Mesiar R. Conic aggregation functions, Fuzzy Sets Syst. 167, 3–20 (2011).Jwaid T., De Baets B., Kalick´a J., Mesiar R. Conic aggregation functions, Fuzzy Sets Syst. 167, 3–20 (2011).Dibala M., Vavr´ikov´a L. A note on Archimax copulas and their representation by means of conic copulas, Fuzzy Sets Syst. 308, 123–132 (2017).Dibala M., Vavr´ikov´a L. A note on Archimax copulas and their representation by means of conic copulas, Fuzzy Sets Syst. 308, 123–132 (2017).Saminger-Platz S., Arias-Garc´ia J.J., Mesiar R., Klement E.P. Characterizations of bivariate conic, extreme value, and Archimax copulas, Depend. Model. 5 (1), 45–58 (2017).Saminger-Platz S., Arias-Garc´ia J.J., Mesiar R., Klement E.P. Characterizations of bivariate conic, extreme value, and Archimax copulas, Depend. Model. 5 (1), 45–58 (2017).Ширяева Л. К. О хвостовой зависимости для копула-функции Граббса, Изв. вузов. Матем. (12), 66–83 (2015).Ширяева Л. К. О хвостовой зависимости для копула-функции Граббса, Изв. вузов. Матем. (12), 66–83 (2015).Ширяева Л. К. О трехпараметрической копула-функции Граббса, Изв. вузов. Матем. (3), 54–71 (2019).Ширяева Л. К. О трехпараметрической копула-функции Граббса, Изв. вузов. Матем. (3), 54–71 (2019).Busemann H., Feller W. Zur differentiation der Lebesgueschen integrale, Fundam. Math. 22, 226–256 (1934).Busemann H., Feller W. Zur differentiation der Lebesgueschen integrale, Fundam. Math. 22, 226–256 (1934).Durante F., Fern´andez-S´anchez J., Sempi C. A note on the notion of singular copula, Fuzzy Sets Syst. 211, 120–122 (2013).Durante F., Fern´andez-S´anchez J., Sempi C. A note on the notion of singular copula, Fuzzy Sets Syst. 211, 120–122 (2013).Durante F., Foscolo E., Rodr´iguez-Lallena J., Ubeda-Flores M. ´ A method for constructing higher-dimensional copulas, Statistics 46 (3), 387–404 (2012).Durante F., Foscolo E., Rodr´iguez-Lallena J., Ubeda-Flores M. ´ A method for constructing higher-dimensional copulas, Statistics 46 (3), 387–404 (2012).Grubbs F. E. Procedures for detecting outlying observations in samples, Technometrics 11 (1), 1–21 (1969).Grubbs F. E. Procedures for detecting outlying observations in samples, Technometrics 11 (1), 1–21 (1969).Zhang J., Yu K. The null distribution of the likelihood-ratio test for one or two outliers in a normal sample, TEST: An Official J. Spanish Soc. Stat. Oper. Res. 15 (1), 141–150 (2006).Zhang J., Yu K. The null distribution of the likelihood-ratio test for one or two outliers in a normal sample, TEST: An Official J. Spanish Soc. Stat. Oper. Res. 15 (1), 141–150 (2006).Durante F., Sempi C. Copula theory: an introduction, Copula theory and its appl. 198, Lecture Notes in Statistics, 3–31 (Springer, Berlin, Heidelberg, 2010), URL : https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-12465-5.Durante F., Sempi C. Copula theory: an introduction, Copula theory and its appl. 198, Lecture Notes in Statistics, 3–31 (Springer, Berlin, Heidelberg, 2010), URL : https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-12465-5.Brechmann V., Schepsmeier U. Modeling dependence with C- and D-Vine Copulas: The R package CDVine, J. Stat. Software 52 (3), 1–27 (2013).Brechmann V., Schepsmeier U. Modeling dependence with C- and D-Vine Copulas: The R package CDVine, J. Stat. Software 52 (3), 1–27 (2013).Ширяева Л. К. О распределении статистик Граббса в случае нормальной выборки с выбросом, Изв. вузов. Матем. (4), 81–101 (2017).Ширяева Л. К. О распределении статистик Граббса в случае нормальной выборки с выбросом, Изв. вузов. Матем. (4), 81–101 (2017).de Amo E., Fern´andez-S´anchez J., Ubeda-Flores M. ´ Zero-sets of copulas, Fuzzy Sets Syst. 393, 143–159 (2020).de Amo E., Fern´andez-S´anchez J., Ubeda-Flores M. ´ Zero-sets of copulas, Fuzzy Sets Syst. 393, 143–159 (2020).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.